Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4339
Main Title: On shape optimization with non-linear partial differential equations
Translated Title: Formoptimierung mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen
Author(s): Sturm, Kevin
Advisor(s): Hömberg, Dietmar
Referee(s): Hömberg, Dietmar
Hintermüller, Michael
Delfour, Michel C.
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die vorliegende Arbeit untersucht Formoptimierungsprobleme mit nichtlinearen Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen. Wir geben eine kurze Einführung in die Formoptimierung und wiederholen die wichtigsten Konzepte. Wir stellen anhand eines einfachen Kostenfunktionals, welches von der Lösung einer semilinearen partiellen Differentialgleichung abhängt, bekannte Methoden zur Verifikation der Formableitbarkeit vor. Desweiteren beschäftigen wir uns mit der Minimierung von Formfunktionen. Um diese Probleme zu lösen, werden verschiedene Verfahren beschrieben, um eine Mannigfaltigkeitenstruktur auf die Menge der zulässigen Formen zu bringen. Üblicherweise wird für numerische Simulationen die Randdarstellung der Formableitung verwendet. Aus numerischer Sicht hat diese Darstellung diverse Nachteile, welche detailliert dargestellt werden. Im Gegensatz dazu steht die Volumendarstellung der Formableitung, welche eine numerisch höhere Approximationsgenauigkeit mit sich bringt, wenn sie mit der Randdarstellung verglichen wird. Die Volumendarstellung erlaubt die Formoptimierung von zwei Gesichtspunkten aus zu betrachten: die Eulersche und die Lagrangsche. Beim Eulerzugang werden alle Rechnungen auf dem aktuellen Gebiet durchgeführt, wohingegen bei der Lagrangschen Methode alle Berechnungen auf einem fixierten Gebiet stattfinden. Die Lagrangsche Sicht ist in natürlicher Weise mit Gradientenflüssen in Gruppen von Diffeomorphismen verbunden. Diese Gradientenflüsse hängen von der Wahl einer Metrik ab und wir werden verschiedene Metriken kennenlernen. Im Hauptteil der Arbeit wird ein neues Theorem ueber die Differenzierbarkeit einer Minimax-Funktion bewiesen. Dieses fundamentale Resultat vereinfacht die Herleitung von Optimalitätsbedingungen. Es stellt eine Verallgemeinerung des wichtigen Satzes von Correa und Seeger für die spezielle Klasse von Lagrangefunktionen dar und beseitigt damit die Sattelpunktannahmen. Obwohl wir unser Theorem nur auf Formoptimierungsprobleme anwenden, ist eine Anwendung auf Optimalsteuerungsprobleme möglich. Wir wenden das Resultat auf vier Modellprobleme an: (i) ein semilineares Prob- lem, (ii) ein elektrisches Impedanz-Tomografieproblem, (iii) ein Problem zur Deformationsvermeidung und schließlich (iv) auf ein quasilineares Problem. Im letzten Abschnitt beschäftigen wir uns mit der numerischen Lösung von einigen vorher vorgestellten Problemen und präsentieren numerische Simulationen. Das Problem (ii) wird gelöst indem wir den Gradientenfluss mit dem Levelsetverfahren kombinieren. Wir lösen das Problem von Beispiel (iv) unter der Verwendung von Basis Splines und der Randdarstellung.
This thesis is concerned with shape optimization problems under non-linear PDE (partial differential equation) constraints. We give a brief introduction to shape optimization and recall important concepts such as shape continuity, shape derivative and the shape differentiability. In order to review existing methods for proving the shape differentiability of PDE constrained shape functions a simple semi-linear model problem is used as constraint. With this example we illustrate the conceptual limits of each method. In the main part of this thesis a new theorem on the differentiability of a minimax function is proved. This fundamental result simplifies the derivation of necessary optimality conditions for PDE constrained optimization problems. It represents a generalization of the celebrated Theorem of Correa-Seeger for the special class of Lagrangian functions and removes the saddle point assumption. Although our method can also be used to compute sensitivities in optimal control, we mainly focus on shape optimization problems. In this respect, we apply the result to four model problems: (i) a semi-linear problem, (ii) an electrical impedance tomography problem, (iii) a model for distortion compensation in elasticity, and finally (iv) a quasi-linear problem describing electro-magnetic fields. Next, we concentrate on methods to minimise shape functions. For this we recall several procedures to put a manifold structure on the space of shapes. Usually, the boundary expression of the shape derivative is used for numerical algorithms. From the numerical point of view this expression has several disadvantages, which will be explained in more detail. In contrast, the volume expression constitutes a numerically more accurate representation of the shape derivative. Additionally, this expression allows us to look at gradient algorithms from two perspectives: the Eulerian and Lagrangian points of view. In the Eulerian approach all computations are performed on the current moving domain. On the other hand the Lagrangian approach allows to perform all calculations on a fixed domain. The Lagrangian view naturally leads to a gradient flow interpretation. The gradient flow depends on the chosen metrics of the underlying function space. We show how different metrics may lead to different optimal designs and different regularity of the resulting domains. In the last part, we give numerical examples using the gradient flow interpretation of the Lagrangian approach. In order to solve the severely ill-posed electrical impedance tomography problem (ii), the discretised gradient flow will be combined with a level-set method. Finally, the problem from example (iv) is solved using B-Splines instead of level-sets.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-62453
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4636
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4339
Exam Date: 9-Oct-2014
Issue Date: 10-Mar-2015
Date Available: 10-Mar-2015
DDC Class: 515 Analysis
Subject(s): Formoptimierung
MiniMax-Methode
Lagrangeverfahren
Shape optimization
Lagrange method
Minimax methods
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/
Appears in Collections:Technische Universität Berlin » Fakultäten & Zentralinstitute » Fakultät 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Institut für Mathematik » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
sturm_kevin.pdf3.29 MBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DepositOnce are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.