Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4385
Main Title: Analysis and numerical solutions of delay differential algebraic equations
Translated Title: Analysis und numerische Lösung von verzögerten differentiell-algebraischen Gleichungen
Author(s): Ha, Phi
Advisor(s): Mehrmann, Volker
Referee(s): Kunkel, Peter
Tischendorf, Caren
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In dieser Arbeit legen wir die Grundlage für die Analyse der Lösbarkeit von Anfangswertproblemen(IVPs) für verzögerte differentiell-algebraische Gleichungen(DDAEs). Eine DDAE ist eine allgemeine Kombination von zwei mathematischen Objekten: differentiell-algebraischen Gleichungen(DAEs) und Differentialgleichungen mit Zeitverzögerungen(DDEs). Diese Kombination führt zu vielen Schwierigkeiten in der Analyse von DDAEs, die weder für DAEs noch für DDEs auftreten. Zwei von diesen Schwierigkeiten, die große Auswirkungen auf die theoretische und numerischen Lösung von DDAEs haben, sind die Nicht-Kausalität und das Vorlaufen (advancedness) eines Systems, die bisher für DDAEs nicht diskutiert wurden. Diese Schwierigkeiten zu überwinden und neue Erkenntnisse über die Analyse der Lösbarkeit von DDAEs zu entwickeln sind das Thema der Arbeit, deren Inhalt aus drei wesentlichen Schwerpunkten besteht. Das Studium von linearen DDAE Systemen mit variablen Koeffizienten ist der erste Schwerpunkt der Arbeit. Im Gegensatz zu kausalen DDAEs, die sich ähnlich wie DAEs verhalten, muss (sogar für lineare) nicht kausale DAEs die Strukturtheorie von mehr als zwei Matrizen verwendet werden, und daher kann die Analyse der Lösbarkeit der entsprechenden IVPs durch die klassische Theorie von Matrizenpaaren nicht angewendet werden. Ein wichtiger Beitrag des ersten Teils der Arbeit ist, den Zusammenhang zwischen Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von IVPs für DDAEs und der Regularität von entweder einem Matrizenpaar oder einem Matrizentripel zu untersuchen. Hierbei ist zu unterscheiden, ob das Zeitintervall beschränkt oder unbeschränkt ist. Das erzielte Ergebnis erlaubt uns, die Lösbarkeit einer linearen DDAE durch Spektraleigenschaften der Koeffizientenmatrizen zu studieren. Wir wenden Matrix-Polynome an, um die Lösbarkeit einer großen Klasse von zeitverzögerten Systemen einschließlich unter- und überbestimmter Systeme zu analysieren. Zwei Klassen von DDAEs, die häufig in Anwendungen Verwendung finden sind DDAEs vom retardierten und vom neutralen Typ. Für diese beiden wichtigen Klassen untersuchen wir einen weiteren, insbesondere algebraischen Ansatz zur Analyse ihrer Lösbarkeit. Dieser Ansatz zeigt die Ähnlichkeit dieser zwei Typen von DDAEs zu DAEs, und ist geeignet für weitere Studien über Eigenschaften hinsichtlich Regelung und Steuerung von DDAEs. Um die theoretische Grundlage für die numerische Lösung von IVPs für DDAEs zu erzielen, betrachten wir als zweiten Schwerpunkt allgemeine Systeme mit linearen zeitvarianten Koeffizienten. Es wird gezeigt, dass klassische schrittweise Methode ("Method of steps") für nichtkausale Systeme nicht anwendbar ist, und es werden zwei neue Ansätze für die Regularisierung von allgemeinen linearen DDAEs vorgestellt. Der erste Ansatz modifiziert die "method of steps" so, dass die Lösung auf fortschreitenden Teilintervallen des Integrationsbereichs berechnet werden kann. Es wird ein Shift-Index eingeführt, der ein Maß für die Nichtkausalität des Systems darstellt. Damit wird die Regularisierungstheorie von DAEs auf DDAEs verallgemeinert. Abhängig vom Typ von der DDAE, führt diese Regularisierungstechnik zu verschiedenen strangenessfreien Formulierungen, die sehr kompliziert sein können, falls eine DDAE von vorlaufendem Typ ist. Die zweite Methode formuliert das AWP für die DDAE als ein Randwertproblem (RWP) für eine hochdimensionale DAE um, so dass die DAE Theorie für die Regularisierung angewendet werden kann. Weiter wird gezeigt, dass die so konstruierte DAE in diesem differentiell-algebraischen RWP einen beliebig großen Strangenessindex haben kann. Der letzte Teil der Arbeit ist die Entwicklung von zwei neuen Integrationsalgorithmen für allgemeine lineare DDAEs, welche auf den Ansätzen des zweiten Teils dieser Arbeit basieren. Die Hauptidee dieser Algorithmen ist es, bekannte numerische Methoden (für DDEs und für DAEs) auf die strangeness-freie Formulierung anzuwenden, die über oben genannte Regularisationstechniken erhalten wird. Der erste Algorithmus, der auf einer Verallgemeinerung der "Method of Steps" basiert, behandelt DDAEs von retardierten und neutralen, aber nicht von vorlaufendem Typ. Der zweite Algorithmus, welcher differentiell-algebraische RWPe löst, ist für alle drei Typen geeignet. Abschließend zeigen wir die Effizienz und Robustheit der vorgestellten Algorithmen im Vergleichmit dem häufig benutzten numerischen Softwarepaket RADAR5 [60].
With this thesis, we aim to lay the foundation for the solvability analysis of initial value problems (IVPs) for delay differential-algebraic equations (DDAEs). In our context, a DDAE is a general combination of two important mathematical objects: differentialalgebraic equations (DAEs) and delay differential equations (DDEs). This combination has led to many difficulties in the analysis of DDAEs, which occur neither for DAEs nor for DDEs. Two of these difficulties, which have strong influence on the theoretical and numerical solutions of DDAEs, are the noncausality and the advancedness of a system, previously not discussed for DDAEs. To overcome these difficulties in order to give new insights to the solvability analysis of DDAEs is the purpose of this work, whose main content is focused on three topics presented in the following. The investigation of systems with time invariant coefficients is the first topic of interest. In contrast to causal DDAEs, which possess many similar properties like DAEs, already in the linear case, noncausal DDAEs take into account the structure of more than two matrices and consequently, the solvability analysis of the corresponding IVPs can not be completely analyzed by the classical theory of matrix pairs. An important contribution of the first part of this thesis is to point out the link between the existence and uniqueness of solutions of IVPs for DDAEs and the regularity of either a matrix pair or a matrix triple, depending on whether the time interval is bounded or not. This result allows to study the solvability of a linear DDAE by investigating spectral properties of its matrix coefficients. In more details, we apply a matrix polynomial approach to study the solvability analysis for a much broader class of time delay systems including both under- and over determined systems. Another approach in the theory of DAEs, namely an algebraic method, is examined to study general DDAEs of retarded and neutral types, which usually occur in applications. This approach has shown the similarity between these two types of DDAEs and DAEs, and it is suitable for further investigation on control properties of DDAEs. Aiming at the theoretical background for the solution procedure for DDAEs, the second topic involves the consideration of general systems with linear time varying coefficients. Observing the failure of the classical method of steps for noncausal systems, we propose two new approaches for the regularization of general linear DDAEs. The first approach aims to modify the method of steps so that one can compute the solution on consecutive sub-intervals of the integration time interval. By introducing the shift index concept to estimate the noncausality of a system, we generalize the regularization procedure of DAEs for DDAEs. Depending on the types of DDAEs, this regularization technique leads to different strangeness-free formulations, which can be very complicated if a DDAE is of advanced type. On the other hand, the second approach reformulates an IVP for a DDAE as a BVP for a high dimensional DAE so that one canmake use of the DAE theory for the regularization. It is further shown that the constructed DAE in this differential-algebraic BVP can have an arbitrarily high strangeness index. The last part of this thesis is the development of two new integration algorithms for general linear DDAEs by using the two approaches introduced in the second part. The main core of these algorithms is to apply well-known numerical methods (for DDEs or for DAEs) to the strangeness-free formulation obtained by different regularization techniques discussed above. The first algorithm, based on a generalization of themethod of steps, successfully handles DDAEs of retarded and neutral types but not systems of advanced type. On the other hand, the second algorithm, based on solving differential-algebraic BVPs, is suitable for dealing with all three types of DDAEs. Concluding, the efficiency and robustness of both algorithms are demonstrated in comparison with the commonly used numerical solver RADAR5 [60].
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-64340
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4682
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4385
Exam Date: 9-Mar-2015
Issue Date: 25-Mar-2015
Date Available: 25-Mar-2015
DDC Class: 518 Numerische Analysis
Subject(s): Verzögerte differentiell-algebraische Gleichungen
Analysis
Lösbarkeit
numerische Lösung
Delay differential-algebraic equations
analysis
solvability
numerical solution
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