Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4491
Main Title: Regularization and simulation of constrained partial differential equations
Translated Title: Regularisierung und Simulation von partiellen Differentialgleichungen mit Nebenbedingung
Author(s): Altmann, Robert
Advisor(s): Mehrmann, Volker
Referee(s): Mehrmann, Volker
Tischendorf, Caren
Ostermann, Alexander
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Regularisierung von differentiell-algebraischen Gleichungen (DAEs) abstrakter Funktionen. Diese sogenannten Operator DAEs sind Operatorgleichungen, die die Struktur differentiell-algebraischer Gleichungen verallgemeinern. Sie bieten eine alternative Formulierung partieller Differentialgleichungen, die gewissen Nebenbedingungen genügen müssen. Die vorgestellte Regularisierung verbessert die Sensibilität der Operator DAEs gegenüber Störungen und resultiert in gut gestellten Systemen bei der Ortsdiskretisierung. Operator DAEs sind hervorragend geeignet zur Modellierung physikalischer Systeme. Anwendungsbereiche findet man in der Strömungsmechanik, der Kontinuumsmechanik sowie im Bereich des Elektromagnetismus. Im Allgemeinen führen gekoppelte Systeme, die aus mehreren Subsystemen bestehen, oft auf diese Art von Gleichungen. Die Formulierung physikalischer Systeme als Operator DAE steht im direkten Zusammenhang zur schwachen Formulierung von partiellen Differentialgleichungen. Als Verallgemeinerung von DAEs kann auch die Nebenbedingung selbst einen Differentialoperator beinhalten wie zum Beispiel bei den Navier-Stokes Gleichungen, die durch die Divergenzfreiheit restringiert sind. Es handelt sich also um DAEs, die allgemein in einem Banachraum definiert sind. Eine weitere Charakterisierung ist gegeben durch die Eigenschaft, dass eine Semidiskretisierung im Ort auf eine DAE im ursprünglichen Sinne führt. Daraus resultieren auch die Stabilitätsprobleme wie die hohe Sensibilität gegenüber Störungen sowie die Notwendigkeit konsistenter Anfangsdaten. Die Regularisierung folgt den Ideen der Indexreduktion für DAEs. Dabei sucht man eine äquivalente Operatorgleichung, die bessere numerische Eigenschaften aufweist. In dieser Arbeit wird speziell die Methode "minimal extension" betrachtet, die sich hervorragend für semi-expliziete Systeme eignet. Dies führt dann auf ein vergrößertes System, da im Regularisierungsprozess neue Variablen eingeführt werden. Dabei ist zu erkennen, dass sich der Index der semidiskreten Systeme verringert. In der Strömungsmechanik erhält man DAEs vom Index 1 statt Index 2 und im Bereich der Kontinuumsmechanik reduziert sich der Index sogar von 3 auf 1. Diskretisiert man die Operatorgleichungen zuerst in der Zeit statt im Ort, so erhält man eine Folge von stationären partiellen Differentialgleichungen. Der letzte Teil der Arbeit analysiert die Konvergenz dieser Zeitdiskretisierung. Dabei ist zu beobachten, dass sich die einzelnen Variablen unterschiedlich verhalten. Der Lagrange Multiplikator, beziehungsweise der Druck im Bereich der Strömungsmechanik, benötigt stärkere Regularitätsannahmen, um die Konvergenz zu garantieren. Desweiteren wird der Einfluss von kleinen Störungen untersucht. Auch hierbei zeigt sich der Vorteil der präsentierten Regularisierung in Bezug auf die besseren Stabilitätseigenschaften verglichen mit dem ursprünglichen System.
This thesis is devoted to the regularization of differential-algebraic equations in the abstract setting (operator DAEs) and the resulting positive impact on the corresponding semi-discrete systems and on the sensitivity to perturbations. The possibility of a modularized modeling and the maintenance of the physical structure of a dynamical system make operator DAEs convenient form the modeling point of view. They appear in all fields of applications such as fluid dynamics, elastodynamics, electromagnetics, as well as in multi-physics applications were different system types are coupled. From a mathematical point of view, operator DAEs are constrained PDEs, written in the weak formulation. Therein, the constraint may itself be a differential equation such as in the Navier-Stokes equations where the velocity of a Newtonian fluid is constrained to be divergence-free. On the other hand, operator DAEs generalize the notion of DAEs to the infinite-dimensional setting, including abstract functions which map into a Banach space. Thus, a spatial discretization leads to a DAE in the classical sense. This also implies that typical stability issues known from the theory of DAEs such as the high sensitivity to perturbations also translate to the operator case. The regularization of an operator DAE follows the concept of an index reduction for a DAE. Hence, an equivalent system is sought-after which has better properties from a numerical point of view. The presented regularization lifts the index reduction technique of minimal extension for semi-explicit DAEs to the abstract setting and leads to an extended operator DAE. A spatial discretization of the regularized system then leads to a DAE of lower index compared to the semi-discrete system arising from the original operator DAE. For flow equations we obtain a reduction from index 2 to index 1 whereas the applications from the field of elastodynamics yield a reduction from index 3 to index 1. The last part of this thesis deals with the convergence of time discretization schemes applied to the regularized operator DAEs. Therein, we observe a qualitative difference for different variables. More precisely, we show that the Lagrange multiplier needs stronger regularity assumptions on the given data in order to guarantee the convergence to the exact solution of the operator DAE. Furthermore, the influence of perturbations in the right-hand sides of the system is analysed for the semi-discrete as well as for the continuous setting. This analysis shows the advantage of the presented regularization in terms of stability.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-66995
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4788
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4491
Exam Date: 29-May-2015
Issue Date: 9-Jun-2015
Date Available: 9-Jun-2015
DDC Class: 500 Naturwissenschaften und Mathematik
Subject(s): Abstrakte DAE
Regularisierung
PDE mit Nebenbedingung
Operator DAE
regularization
constrained PDE
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/
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