Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4644
Main Title: Constructing complicated spheres
Translated Title: Über die Konstruktion komplizierter Kugeln
Author(s): Tsuruga, Mimi
Advisor(s): Lutz, Frank Hagen
Sullivan, John Matthew
Referee(s): Lutz, Frank Hagen
Sullivan, John Matthew
Mischaikow, Konstantin
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die Akbulut-Kirby Sphären gibt eine unendliche Familie von (glatten) 4-Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph zur Standardsphäre sind; sie haben jeweils eine handlebody Zersetzung, die durch eine bestimmte nicht-triviale Vorstellung der trivialen Gruppe beschrieben wird. Diese Sphären wurden als Kandidaten Gegenbeispiele zum reibungslosen Poincaré-Vermutung in Dimension 4. Die glatte Poincaré-Vermutung in Dimension 4 vorgeschlagen wird, ist noch offen heute, sondern die ganze Familie von Kugeln sind nicht mehr exotisch Kandidaten. In Dimension 4 die Kategorien PL und DIFF zusammenfallen, so PL Triangulierungen der Akbulut-Kirby Kugeln sind Standard PL 4-Sphären. Wir beschreiben drei verschiedene Möglichkeiten, explizite Triangulierungen der Akbulut-Kirby Sphären zu konstruieren. Aber um zu zeigen, dass diese PL Triangulierungen sind in der Tat PL 4-Sphären ist keine einfache Aufgabe. Das Problem der PL Kugel Anerkennung in Dimension 4 ist auch noch offen. In Dimension 3 ist Sphäre Erkennung bekannt, in der Komplexitätsklasse NP sein. In höheren Dimensionen sind PL Sphären nicht wiederzuerkennen. Es gibt jedoch heuristische Algorithmen, die Kugeln effektiv auf vielen Beispielen erkennen kann. Wir werden einige dieser Algorithmen und ihre Grenzen zu diskutieren. Unsere Experimente zeigen, dass die Heuristik - selbst wenn sie in Kombination verwendet werden - nicht in der Lage, den Großteil der Akbulut-Kirby erkennen trianguliert PL 4-Sphären. Wir werden auch kurz auf unsere Bau einer Triangulation von Mazur 4-Verteiler, die viele der Werkzeuge, die wir entwickelt, um die Dreiecks Akbulut-Kirby Kugeln bauen verwendet. Mazur 4-Verteilers ist eine zusammenziehbare 4-Verteiler, der eine Grenze, die eine Homologie Kugel, die nicht die Standard-3-Kugel hat. Wir verwenden diese Triangulation, eine zusammenklappbare nicht-PL 5-Ball und eine nicht-PL 5-Sphäre zu bauen.
The Akbulut-Kirby spheres are an infinite family of (smooth) 4-manifolds that are diffeomorphic to the standard sphere; they each have a handlebody decomposition that is described by a certain nontrivial presentation of the trivial group. These spheres were proposed as candidate counterexamples to the smooth Poincare conjecture in dimension 4. The smooth Poincare conjecture in dimension 4 is still open today, but the entire family of spheres are no longer exotic candidates. In dimension 4, the categories PL and DIFF coincide, so PL triangulations of the Akbulut-Kirby spheres are standard PL 4-spheres. We describe three different ways to construct explicit triangulations of the Akbulut-Kirby spheres. However, to show that these PL triangulations are indeed PL 4-spheres is no simple task. The problem of PL sphere recognition in dimension 4 is also still open. In dimension 3, sphere recognition is known to be in the complexity class NP. In higher dimensions, PL spheres are unrecognizable. There are, however, heuristic algorithms that can recognize spheres effectively on many examples. We will discuss some of these algorithms and their limitations. Our experiments show that the heuristics—-even when used in combination—-were not able to recognize the majority of the Akbulut-Kirby triangulated PL 4-spheres. We will also briefly discuss our construction of a triangulation of Mazur's 4-manifold, which used many of the tools we designed to build the triangulated Akbulut-Kirby spheres. Mazur's 4-manifold is a contractible 4-manifold that has a boundary that is a homology sphere that is not the standard 3-sphere. We use this triangulation to build a collapsible non-PL 5-ball and a non-PL 5-sphere.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-70640
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4941
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4644
Exam Date: 1-Jul-2015
Issue Date: 11-Sep-2015
Date Available: 11-Sep-2015
DDC Class: 514 Topologie
Subject(s): Akbulut-kirby spheres
discrete morse theory
bistellar simplification
simplicial complexes
MSC 57Q15
57Q05
57N13
57R60
52B70
52B05
55N35
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