Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4723
Main Title: Invariance principle for diffusions in degenerate and unbounded random environment
Translated Title: Invarianzprinzip für Diffusionen in degenerierter und unbeschränkter zufälliger Umgebung
Author(s): Chiarini, Alberto
Advisor(s): Deuschel, Jean-Dominique
Referee(s): Mathieu, Pierre
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Nach den brillanten Ergebnissen von Papanicolau und Varadhan (1979) im Fall von beschränkten, stationären und ergodischen Umgebungen gab es ein erneutes Aufflammen in der Erforschung der “quenched" Homogenisierung eines symmetrischen Diffusionsprozesses in zufälligen Medien. Insbesondere ist es immer noch ein ungelöstes Problem die optimalen Bedingungen zu bestimmen, die eine stationäre und ergodische Umgebung erfüllen muss, um die Konvergenz gegen eine nicht-degenerierte Brownsche Bewegung zu garantieren. In diesem Manuskript zeigen wir, dass, vorausgesetzt, dass die Umgebung eine bestimmte Momentenbedingung erfüllt, sowohl ein quenched Invarianzprinzip als auch ein quenched, lokaler, zentraler Grenzwertsatz für Diffusionen, die von einem Divergenzform Operator generiert werden, gelten. Da die Koeffizienten nicht glatt sind, bedienen wir uns der Theorie der Dirichlet Formen, um Diffusionen einen Sinn zu geben. Die Beweise für das quenched Invarianzprinzip und den quenched lokalen zentralen Grenzwertsatz verwenden a-priori-Abschätzungen von Lösung partieller Differentialgleichungen. Einerseits gelingt es uns mit Hilfe der berühmten J. Moser Iterationstechnik eine Maximalungleichung für Lösungen von elliptischen, partiellen Differentialgleichungen herzuleiten, welche wiederum die Sublinearität der Korrektoren und damit das quenched Invarianzprinzip implizieren. Andererseits, wieder dank Mosers Schema, erhalten wir eine parabolische Harnack Ungleichung, die verwendet werden kann, um die Oszillation von Lösungen parabolischer PDEs zu kontrollieren. Insbesondere, im diffusen Grenzübergang, sind wir in der Lage die Oszillation der Übergangsdichten unserer Diffusion zu beschränken. Sukzessive ergibt sich daraus ein quenched, lokaler, zentraler Grenzwertsatz.
After the brilliant result of Papanicolau and Varadhan (1979) in the case of bounded stationary and ergodic environments, there has been a recent upsurge in the research of “quenched homogenization” of a symmetric diffusion process in random media. In particular, to identify the optimal conditions that a general stationary and ergodic environment must satisfy in order to obtain the convergence to a non-degenerate Brownian motion, is still an open problem. In this manuscript we show that, provided that the environment satisfies certain moment conditions, then both a quenched invariance principle and a quenched local central limit theorem hold for a diffusion formally generated by a divergence form operator. Since the coefficients are not assumed to be smooth, we shall exploit Dirichlet form theory to make sense of the diffusion associated to such operator. Both the proofs of the quenched invariance principle and of the quenched local central limit theorem rely on a priori estimates for solutions to linear partial differential equations. On one hand, with the help of the celebrated J. Moser's iteration technique, we derive a maximal inequality for solutions to degenerate elliptic PDEs which in turn gives the sublinearity of the correctors and with that the quenched invariance principle. On the other hand, relying once again on Moser's scheme, we obtain a parabolic Harnack inequality which can be used to control the oscillations of solutions to parabolic PDEs. In particular, in the diffusive limit, we are able to bound the oscillations of the transition densities of our diffusion. This successively yields the quenched local central limit theorem.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-72191
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5020
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4723
Exam Date: 15-Sep-2015
Issue Date: 25-Sep-2015
Date Available: 25-Sep-2015
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Invarianzprinzip
Homogenisierung
Moser Iterationstechnik
zufällige Umgebung
Dirichlet Formen
Invariance principle
homogenization
Moser’s iteration
random environment
Dirichlet forms
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/
Appears in Collections:Technische Universität Berlin » Fakultäten & Zentralinstitute » Fakultät 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Institut für Mathematik » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
chiarini_alberto.pdf1,42 MBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DepositOnce are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.