Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4776
Main Title: Generic low rank perturbations of structured regular matrix pencils and structured matrices
Translated Title: Generische Niedrigrangstörungen von strukturierten regulären Matrixbüscheln und strukturierten Matrizen
Author(s): Batzke, Leonhard Jan Martin
Advisor(s): Mehl, Christian
Mehrmann, Volker
Referee(s): Mehl, Christian
Mehrmann, Volker
Teran Vergara, Fernando de
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In dieser Arbeit wird die spektrale Struktur von verschiedenen Klassen strukturierter regulärer Matrixbüschel unter strukturerhaltenden Niedrigrang-Störungen untersucht. Es werden die folgenden Aussagen bewiesen. Bestimmte Klassen strukturierter Matrixbüschel haben eine Symmetrie in ihrem Spektrum, sodass nicht alle Normalformen für das gestörte Büschel erlaubt sind, wenn eine strukturerhaltende Niedrigrang-Störung angewandt wird. Deshalb beobachtet man für T-alternierende, palindromische, Hermitesche, symmetrische und schiefsymmetrische Matrixbüschel unter einer generischen, strukturerhaltenden Rang-1 oder Rang-2 Störung die folgenden Effekte bei jedem Eigenwert lambda: (a) Der größte bzw. die größten zwei Jordan Blöcke bei lambda werden zerstört. (b) Falls dadurch die von der Struktur vorgeschriebene Eigenwertpaarung verletzt würde, wird außerdem der größte verbliebene Jordan Block um eins vergrößert. (c) Wenn lambda ein einfacher (doppelter) Eigenwert der Störung ist, wird ein neuer Jordan Block (zwei neue Blöcke) der Größe eins bei lambda erzeugt. Hermitesche und reelle strukturierte Matrixbüschel haben auch Vorzeichen an bestimmen Jordan-Blöcken (etwa bei den reellen oder rein imaginären Eigenwerten), somit muss außerdem diese sogenannte Vorzeichencharakteristik unter Störungen untersucht werden. Die folgenden Effekte treten unter einer generischen, strukturerhaltenden Rang-1 oder Rang-2 Störung auf, falls lambda eine Vorzeichencharakteristik hat (andernfalls ist die Normalform bei lambda schon durch den obigen Absatz festgelegt): (a) Alle Vorzeichen bei lambda bis auf eins bzw. zwei, die zu den zerstörten Blöcken gehören, bleiben erhalten. (b) Falls lambda kein halbeinfacher Eigenwert des ursprünglichen Matrixbüschels ist, dann ist das Vorzeichen des potentiellen neuen Blocks bei lambda das Vorzeichen des Eigenwertes lambda in der Störung. Weiterhin werden Matrizen, die strukturiert bzgl. eines indefiniten inneren Produktes sind, unter strukturerhaltenden Störungen von beliebigem Rang untersucht. Für H-selbstadjungierte, H-symmetrische und J-Hamiltonische Matrizen wird das folgende Resultat bewiesen: Sei A eine Matrix von einer dieser Strukturklassen und sei B eine Rang-k Matrix, sodass A+B derselben Strukturklasse angehört wie A. Dann sind die generische Jordan Struktur und Vorzeichencharakteristik von A+B dieselben, die man durch Ausführung von k generischen Rang-1 Störungen auf A erhielte.
In this thesis, the spectral behavior of several classes of structured regular matrix pencils is studied under structure-preserving low-rank perturbations. Some of the principles that are proved are the following. For certain classes of structured matrix pencils, that have a symmetry in their spectrum, not all canonical forms are allowed when the matrix pencil is subjected to a structure-preserving low-rank perturbation. Therefore, for T-alternating, palindromic, Hermitian, symmetric, and skew-symmetric matrix pencils one observes the following effects at each eigenvalue lambda under a generic, structure-preserving rank-1 or rank-2 perturbation: (a) The largest one or two, respectively, Jordan blocks at lambda are destroyed. (b) If hereby the eigenvalue pairing imposed by the structure is violated, then also the largest remaining Jordan block at lambda will grow in size by one. (c) If lambda is a single (double) eigenvalue of the perturbing pencil, then one (two) new Jordan blocks of size one will be created at lambda. Hermitian and real structured matrix pencils have signs attached to certain (real or purely imaginary) Jordan blocks in the canonical form, so it is not only the Jordan structure but also this so-called sign characteristic that needs to be examined under perturbation. If lambda has a sign characteristic (otherwise the canonical form at lambda is completely described by the previous paragraph), then the observed effects under a generic structure-preserving rank-1 or rank-2 perturbation are as follows: (a) All signs from the sign characteristic at lambda but one or two, respectively, that correspond to the destroyed blocks, are preserved under perturbation. (b) If la is not a semisimple eigenvalue of the original matrix pencil, then the sign of the potential new block at lambda is prescribed to be the sign that is attached to the eigenvalue lambda in the perturbation. Matrices that are structured with respect to an indefinite inner product will be studied under structure-preserving perturbations of arbitrary rank. For H-selfadjoint, H-symmetric, and J-Hamiltonian matrices, the following results are proved: Let A be a matrix from one of these structure classes and let B be a matrix of rank k such that A+B is from the same structure class as A. Then, generically the Jordan structure and sign characteristic of A+B is the same that one would obtain by performing a sequence of k generic structured rank-1 perturbations on A.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-73160
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5073
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4776
Exam Date: 9-Oct-2015
Issue Date: 20-Oct-2015
Date Available: 20-Oct-2015
DDC Class: 518 Numerische Analysis
Subject(s): Lineare Algebra
Numerische Mathematik
Störungstheorie
Linear algebra
Numerical mathematics
Perturbation theory
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/
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