Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4917
Main Title: On the numerical computation of photonic crystal waveguide band structures
Translated Title: Zur numerischen Berechnung von Bandstrukturen von Photonenkristallwellenleitern
Author(s): Klindworth, Dirk
Advisor(s): Schmidt, Kersten
Referee(s): Joly, Patrick
Mehrmann, Volker
Schmidt, Kersten
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: Diese Dissertation befasst sich mit der Entwicklung von numerischen Verfahren für die akkurate und effiziente Berechnung der Bandstrukturen von zweidimensionalen Photonenkristallwellenleitern. Photonenkristallwellenleiter sind periodische Nanostrukturen mit einem Liniendefekt. Das perfekt periodische Medium an beiden Seiten des Liniendefekts muss mathematisch modelliert werden. Hierfür werden transparente Dirichlet-zu-Neumann- und Robin-zu-Robin-Randbedingungen verwendet. Diese Randbedingungen sind in dem Sinne transparent, als dass sie, im Gegensatz zu der bekannten Superzellenmethode, keinen Modellierungsfehler verursachen. Die numerische Umsetzung dieser transparenten Randbedingungen in Form von finiten Elementen hoher Ordnung adressiert das erste Ziel der vorliegenden Arbeit, also die Verbesserung der Genauigkeit von Bandstrukturberechnungen für zweidimensionale Photonenkristallwellenleiter. Die Implementation der Robin-zu-Robin-Randbedingungen ist komplizierter als die der Dirichlet-zu-Neumann-Randbedingungen, jedoch haben sie den Vorteil, dass sie für alle Frequenzen wohldefiniert und ihre Berechnung wohlgestellt ist. Da die Eigenwertprobleme mit Dirichlet-zu-Neumann- oder Robin-zu-Robin-Randbedingungen nichtlinear sind, sind effiziente Methoden für ihre Lösung unabdingbar. Dafür wird ein neuartiges, iteratives Verfahren vorgeschlagen, das auf der Newton-Methode basiert und das ideal auf die zu lösenden Probleme abgestimmt ist. Ferner wird ein Pfadverfolgungsalgorithmus entwickelt, der für die effiziente Approximation der Eigenpfade der nichtlinearen Eigenwertprobleme, den sogenannten Dispersionskurven, angewendet wird. Dieser Pfadverfolgungsalgorithmus basiert auf der Tatsache, dass die Dispersionskurven analytische Funktionen sind und somit eine Taylor-Entwicklung möglich ist. Dazu werden Formeln zur Berechnung der Ableitungen der Dispersionskurven eingeführt und eine adaptive Auswahl der Knotenpunkte vorgeschlagen, an denen eine Taylor-Entwicklung berechnet wird. Durch diese adaptive Auswahl können die Dispersionskurven bei gleichzeitiger Zeitersparnis fein aufgelöst werden. Das vorgeschlagene, numerische Verfahren für die Berechnung der Bandstrukturen von zweidimensionalen Photonenkristallwellenleitern, welches sowohl die Diskretisierung der transparenten Randbedingungen mit finiten Elementen hoher Ordnung sowie den Pfadverfolgungsalgorithmus enthält, ermöglicht die effiziente Auflösung physikalischer Phänomene mit hoher Genauigkeit. So wird gezeigt, wie mit Hilfe des vorgeschlagenen Verfahrens Ministoppbänder identifiziert werden können. Das sind Bereiche der Bandstruktur, in denen sich zwei Dispersionskurven sehr nahe kommen, ohne sich aber zu schneiden. Ferner kann mit dem vorgeschlagenen Verfahren das Verhalten in einer sehr kleinen Umgebung der Bandkante analysiert werden. Für beide genannten Phänomene gilt, dass sie mit Standardmethoden, wie der Superzellenmethode und einem äquidistanten Abtasten der Dispersionskurven, nicht aufgelöst werden können.
In this thesis, we develop numerical schemes for the accurate and efficient computation of band structures of two-dimensional photonic crystal waveguides, which are periodic nanostructures with a line defect. The perfectly periodic medium on both sides of the line defect has to be modelled mathematically. For this, we employ Dirichlet-to-Neumann and Robin-to-Robin transparent boundary conditions. These boundary conditions are transparent in the sense that they do not introduce a modelling error, which is in contrast to the well-known supercell method. The numerical realization of these transparent boundary conditions in terms of high-order finite element discretizations addresses the first objective of this work, i.e. to improve the accuracy of photonic crystal waveguide band structure calculations. The realization of Robin-to-Robin transparent boundary conditions is more involved than the realization of Dirichlet-to-Neumann boundary conditions. However, in contrast to Dirichlet-to-Neumann boundary conditions, they do not exhibit any forbidden frequencies for which the boundary conditions are not well-defined or their computation is ill-posed. Since the eigenvalue problems with Dirichlet-to-Neumann or Robin-to-Robin transparent boundary conditions are nonlinear, efficient numerical schemes for their solution are crucial. We propose an indirect scheme based on Newton's method that is ideally suited for the eigenvalue problems under consideration. Moreover, we develop a path following algorithm, which we apply for the efficient approximation of the eigenpaths of the nonlinear eigenvalue problems, the so-called dispersion curves of the photonic crystal waveguide band structures. This path following algorithm is based on the fact that the dispersion curves are analytic, and hence, a Taylor expansion can be applied. For this, we introduce formulas for the derivatives of the dispersion curves and an adaptive selection of nodes at which a Taylor expansion is computed. With this adaptive selection we can resolve the dispersion curves in full detail while saving computation time. Our proposed numerical scheme, that includes these two ingredients, i.e. the high-order finite element discretization of the transparent boundary conditions for periodic media and the adaptive path following algorithm, allows for efficiently resolving physical phenomena with high accuracy. For example, we show how to identify mini-stopbands, i.e. avoided crossings of dispersion curves, and we discuss the behaviour of dispersion curves at band edges, which is not possible with standard methods such as the supercell method and an equidistant sampling of dispersion curves.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5220
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4917
Exam Date: 30-Nov-2015
Issue Date: 2015
Date Available: 18-Dec-2015
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::530 Physik::535 Licht, Infrarot- und Ultraviolettphänomene
DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::518 Numerische Analysis
Subject(s): photonic crystal waveguides
band structures
transparent boundary conditions
nonlinear eigenvalue problems
adaptivity
Photonenkristallwellenleiter
Bandstrukturen
transparente Randbedingungen
nichtlineare Eigenwertprobleme
Adaptivität
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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