Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5071
Main Title: The Hermite-Biehler method and functions generating the Pólya frequency sequences
Translated Title: Die Hermite-Biehler-Methode und erzeugende Funktionen von Pólya-Frequenzfolgen
Author(s): Dyachenko, Alexander
Advisor(s): Holtz, Olga
Referee(s): Eremenko, Alexandre
Wojtylak, Michał
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: Under the Hermite-Biehler method we understand the approach to problems of stability, which exploits a deep relation between Hurwitz-stable functions and mappings of the upper half of the complex plane into itself (i.e. R-functions). This method dates back to works by Hermite, Biehler, Hurwitz; in the first half of the XXth century it was extended to entire functions by Grommer and Krein. Recent papers (from 1970 to the present date) highlighted another property related to Hurwitz-stability: the total nonnegativity of the corresponding Hurwitz matrix, that is nonnegativity of all its minors. Since each Hurwitz matrix is built from two Toeplitz matrices, this also involves the class PF of functions corresponding to totally nonnegative Toeplitz matrices (i.e. generating functions of Pólya frequency sequences). The present work investigates connections between R-functions, PF-functions and the localization of zeros (e.g. Hurwitz stability). The first problem we deal with is to prove that zeros of one remarkable family of polynomials are interlacing. This family originates from the Jacobi tau method for the Sturm-Liouville eigenvalue problem, and the interlacing property guarantees that the spectra of approximations are real. At that, the Hurwitz stability comes from a specially composed differential equation, and then the Hermite-Biehler theorem implies the interlacing property for pairs of polynomials. The next topic is a complete description of functions generating the infinite totally nonnegative Hurwitz matrices. Our results exploit a connection between a factorization of the Hurwitz-type matrices and the expansion of R-functions into Stieltjes continued fractions. Further we study solutions to the equation z^pR(z^k)=α with nonzero complex α, integer p,k and R∈PF by relating it to the class R. Such equations appear from manipulations akin to the Hermite-Biehler method when we prove that functions of the form ∑_n (±i)^{n(n-1)/2} a_nz^n have simple zeros distinct in absolute value under a certain condition on the coefficients a_n≥0. Lastly, we study the generalized Nevanlinna classes and their connection to PF-functions. The present work elaborates the criterion given by Krein and Langer and applies it to counting the number of zeros and poles of PF-functions.
Unter der Hermite-Biehler-Methode verstehen wir den Ansatz für Probleme der Stabilität, der eine tiefe Beziehung zwischen Hurwitz-stabilen Funktionen und Abbildungen der oberen Hälfte der komplexen Zahlenebene in sich selbst (d.h. R-Funktionen) nutzt. Diese Methode stammt von Hermite, Biehler und Hurwitz; in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts wurde es von Grommer und Krein auf ganze Funktionen erweitert. Neuere Arbeiten (ab 1970) heben eine andere Eigenschaft in Verbindung mit Hurwitz-Stabilität hervor: die totale Nichtnegativität der entsprechenden Hurwitz-Matrix (also Nichtnegativität aller ihrer Minoren). Da jede Hurwitz-Matrix aus zwei Toeplitz-Matrizen besteht, führt dies zur Betrachtung der Klasse PF der Funktionen, die total nichtnegativen Matrizen entsprechen (d.h. die Klasse der erzeugenden Funktionen von Pólya-Frequenzfolgen). Die vorliegende Arbeit untersucht Verbindungen zwischen R-Funktionen, PF-Funktionen und die Lokalisierung von Nullstellen (z.B. Hurwitz-Stabilität). Erster Untersuchungsgegenstand dieser Arbeit ist eine Folge von Polynomen, die aus der Jacobi-Tau-Methode für das Sturm-Liouville-Eigenwertproblem stammt. Wir untersuchen, wann die Nullstellen eines Polynoms sich mit den Nullstellen des nächsten Polynoms der Folge abwechseln. Diese Eigenschaft garantiert, dass die Spektren der entsprechenden Annäherungen real sind. Dabei kommt die Stabilität von einer eigens aufgestellten Differentialgleichung zum Einsatz und der Satz von Hermite und Biehler impliziert anschließend die erwünschte Eigenschaft für Paare von Polynomen. Das nächste Thema ist eine vollständige Beschreibung der Funktionen, die unendliche Matrizen vom Hurwitz-Typ erzeugen. Unsere Ergebnisse basieren auf einer Verbindung zwischen einer Faktorisierung solcher Matrizen und der Stieltjesschen Kettenbruchentwicklung der R-Funktionen. Weiterhin untersuchen wir Lösungen der Gleichung z^pR(z^k)=α mit komplexen α≠0, ganzen p,k und R∈PF, indem wir eine Verbindung zur Klasse R herstellen. Solche Gleichungen ergeben sich aus Manipulationen ähnlich der Hermite-Biehler-Methode, wenn wir beweisen, dass Funktionen der Form ∑_n (±i)^{n(n-1)/2} a_nz^n nur einfache Nullstellen mit unterschiedlichen Absolutwerten unter einer bestimmten Bedingung an die Koeffizienten a_n≥0 haben. Letztendlich untersuchen wir die verallgemeinerten Nevanlinna-Klassen und ihre Verbindung zu PF-Funktionen. Die vorliegende Arbeit präzisiert das Kriterium von Krein und Langer, und wendet es zur Zählung von Nullstellen und Polen von PF-Funktionen an.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5396
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5071
Exam Date: 4-Jan-2016
Issue Date: 2016
Date Available: 4-Apr-2016
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::515 Analysis
Subject(s): Pólya frequency sequences
R-functions
generalized Nevanlinna classes
Hermite-Biehler theorem
Hurwitz stability
localization of zeros
Sokal conjectures
conjectures by Csordas and Charalambides and Waleffe
Pólya-Frequenzfolgen
R-Funktionen
verallgemeinerte Nevanlinna-Klassen
Satz von Hermite und Biehler
Hurwitz-Stabilität
Lokalisierung der Nullstellen
Sokal-Vermutungen
Vermutungen von Csordas und Charalambides und Waleffe
Sponsor/Funder: EC/FP7/259173/EU/Stability and hyperbolicity of polynomials and entire functions/SHPEF
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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