Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5100
Main Title: On interpolation and approximation problems in numerical linear algebra
Translated Title: Über Interpolations- und Approximationsprobleme in numerischer linearer Algebra
Author(s): Sète, Olivier
Advisor(s): Liesen, Jörg
Referee(s): Liesen, Jörg
Nabben, Reinhard
Wegert, Elias
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: This doctoral thesis is on interpolation and approximation problems in the complex plane which are motivated by questions in numerical linear algebra. In the first part of this thesis, we consider the zeros of rational harmonic functions. In this context we sharpen a bound on the number of zeros of such functions, and show that extremal functions, i.e., rational harmonic functions attaining this bound, are always regular. Moreover, we analyze the change of the number of zeros of rational harmonic functions when adding a pole. This generalizes a construction of Rhie (ArXiv Astrophysics e-prints, 2003), who gave the first examples of extremal functions. Her examples, however, have high rotational symmetry. Our analysis yields in particular a construction principle for general non-symmetric extremal functions. We apply this result in the context of gravitational microlensing in astrophysics, to obtain a construction principle for unsymmetric gravitational point lenses for which maximal lensing occurs. The second part of this thesis is on approximation of analytic functions by series of Faber-Walsh polynomials, which generalize Faber olynomials to compact sets with several components. The Faber-Walsh polynomials are defined through conformal maps of multiply connected domains onto lemniscatic domains, which generalize the Riemann mapping. We first construct two analytic examples of such maps, and give a general construction principle for these maps for certain polynomial pre-images. With these results we derive general properties of the Faber-Walsh polynomials, and relate them to the classical Faber and Chebyshev polynomials. We further present examples of Faber-Walsh polynomials for two real intervals, and also for two nonreal sets consisting of several components.
Die vorliegende Dissertationsschrift behandelt Themen der Interpolations- und Approximationstheorie, welche durch Fragestellungen aus der Numerischen Linearen Algebra motiviert sind. Im ersten Teil dieser Arbeit werden die Nullstellen von rationalen harmonischen Funktionen untersucht. Wir verbessern eine bekannte obere Schranke für die Anzahl der Nullstellen dieser Funktionen und beheben eine Ungenauigkeit im ursprünglichen Beweis. Weiter zeigen wir, dass extremale rationale harmonische Funktionen, d.h. Funktionen, die die maximal mögliche Anzahl an Nullstellen besitzen, keine singulären Nullstellen besitzen. Des weiteren untersuchen wir, wie sich die Anzahl der Nullstellen einer rationalen harmonischen Funktion ändert, wenn man zu dieser einen Pol addiert. Dies verallgemeinert eine Konstruktion von Rhie (arXiv:astro-ph/0305166v1, 2003), die die ersten Beispiele extremaler Funktionen gegeben hat. Ihre Beispiele besitzen starke Rotationssymmetrie. Unsere Analyse liefert ein Konstruktionsverfahren für unsymmetrische extremale Funktionen. Dieses Ergebnis wenden wir auf Gravitationslinsen in der Astrophysik an und erhalten ein Konstruktionsverfahren für unsymmetrische Gravitationslinsen, die die maximal mögliche Anzahl Bilder erzeugen. Der zweite Teil der vorliegenden Arbeit behandelt die Approximation von analytischen Funktionen durch Reihen nach Faber-Walsh-Polynomen. Letztere verallgemeinern Faber-Polynome auf Mengen, die aus mehreren einfach zusammenhängenden und kompakten Komponenten bestehen, und sind durch eine konforme Abbildung vom Äußeren der kompakten Menge auf Lemniskatengebiete definiert. Zunächst leiten wir ein Konstruktionsprinzip für diese Lemniskatenabbildungen für eine Klassen von Urbildern von einfach zusammenhängenden kompakten Mengen unter Polynomen her. Zudem konstruieren wir explizit zwei Beispiele. Sodann leiten wir allgemeine Eigenschaften der Faber-Walsh-Polynome her. Insbesondere untersuchen wir ihre Beziehung zu den klassischen Faber- und Tschebyscheff-Polynomen. Des weiteren untersuchen und berechnen wir die Faber-Walsh-Polynome auf zwei reellen Intervallen sowie auf komplexen Mengen mit mehreren Komponenten.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5425
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5100
Exam Date: 10-Feb-2016
Issue Date: 2016
Date Available: 15-Apr-2016
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::518 Numerische Analysis
Subject(s): harmonic function
conformal mapping
polynomial approximation
harmonische Funktion
konforme Abbildung
Polynom-Approximation
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