Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5398
Main Title: Shearlets on bounded domains and analysis of singularities using compactly supported shearlets
Translated Title: Shearlets auf beschränkten Gebieten und Analyse von Singularitäten anhand von Shearlets mit kompaktem Träger
Author(s): Petersen, Philipp Christian
Advisor(s): Kutyniok, Gitta
Referee(s): Grohs, Philipp
Kutyniok, Gitta
Labate, Demetrio
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: In this thesis we discuss and extend the theory of shearlet systems. These systems were introduced by Guo, Kutyniok, Labate, Lim and Weiss, and have found a multitude of applications in signal- and image processing and related fields since then. The results of this thesis are split into two different but connected parts. In the first part we present a construction of a novel shearlet system on a bounded domain. This system can be used to construct adaptive discretizations of partial differential equations. The second aspect of this thesis is to analyze the shearlet transform and its ability to detect and classify edges in images. To employ shearlet systems for the discretization of partial differential equations a number of properties must be fulfilled by the shearlet system. Among others, one necessity is that the shearlet system constitutes a frame for the space of square integrable functions defined on a bounded domain. Furthermore, the system needs to be able to characterize Sobolev spaces in a suitable way. This requirement is, for example, fulfilled if the system constitutes a so-called Gelfand frame. We show that a novel construction, termed boundary shearlet system, satisfies all those requirements. We prove the Gelfand frame property partly analytically and partly numerically. Additionally, we show that boundary shearlet systems can characterize Sobolev norms by weighted norms of square summable sequence spaces. Lastly, we also demonstrate that boundary shearlet systems yield almost optimal approximation rates for functions which are smooth except for a curvilinear singularity. Along the way we find new improved approximation rates by shearlets on the two-dimensional real plane for functions whose first- or higher-order derivatives are cartoon-like functions. Furthermore, we will see from numerical experiments that boundary shearlet systems are, indeed, capable and very well suited for the discretization of elliptic partial differential equations and they lead to adaptive algorithms admitting optimal convergence rates. In the second part of this thesis we study the analysis of singularities by the shearlet transform. We describe the asymptotic behavior of the shearlet transform and provide a possibility to make a classification of different types of singularities based on that behavior. This procedure is based on works of Guo and Labate where a similar classification method was proposed for a band-limited shearlet generator. We extend these results for compactly supported shearlet systems in this thesis. Moreover, we observe that in many cases the use of compactly supported shearlets systems leads to improved results. These improvements include the existence of uniform estimates for the asymptotic behavior of the shearlet transform. Furthermore, we obtain stronger separation of the decay rates of the shearlet transform, leading to clearer classification of different types of singularities. In addition, we accurately describe the influence of the curvature of a singularity curve on the asymptotic behavior of the shearlet transform.
Die vorliegende Arbeit untersucht und erweitert die Theorie der Shearletsysteme. Diese Systeme wurden seit ihrer Einführung in einer Vielzahl von Anwendungen in der Signal- und Bildverarbeitung und weiteren verwandten Gebieten eingesetzt. Die Resultate dieser Arbeit lassen sich zwei Bereichen zuordnen. Der erste Bereich beschäftigt sich mit der Konstruktion eines neuartigen Shearletsystems auf einem beschränkten Gebiet, das zur Lösung partieller Differentialgleichungen verwendet werden kann. Der zweite Bereich untersucht das Verhalten der Shearlettransformation und die Möglichkeit damit Kanten eines Bildes zu erkennen und zu klassifizieren. Um Shearletsysteme für die Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen verwenden zu können, müssen eine Reihe von Bedingungen erfüllt sein. Unter anderem ist es notwendig, dass, wenn ein beschränktes Gebiet gegeben ist, die Systeme in der Lage sind, Frames für den Hilbertraum der quadratintegirerbaren Funktionen definiert auf diesem Gebiet zu bilden und Sobolevräume auf beschränkten Gebieten in einer geeigneten Form zu beschreiben. Diese Eigenschaft ist erfüllt, wenn das zugrunde liegende System einen sogenannten Gelfandframe bildet. Wir werden zeigen, dass eine neue Konstruktion eines Shearletsystems auf einem beschränkten Gebiet, welche wir boundary Shearletsystem nennen werden, alle oben genannten Eigenschaften erfüllt. Die Gelfandframeeigenschaft weisen wir teils analytisch und teils numerisch nach. Darüber hinaus werden wir auch beweisen, dass boundary Shearletsysteme, Sobolevräume anhand ihrer Analysiskoeffizienten beschreiben. Des Weiteren wird gezeigt, dass boundary Shearletsysteme optimale Approximationsraten für Funktionen, die abgesehen von einer kurvenförmigen Singularität glatt sind, aufweisen. Auf dem Weg zu diesen Resultaten beweisen wir neue, verbesserte Approximationsraten durch Shearlets auf der gesamten reelen Ebene für Funktionen, deren Ableitungen kurvenförmige Singularitäten aufweisen. Außerdem werden wir anhand einer numerischen Analyse sehen, dass boundary Shearletsysteme in der Tat geeignet sind, um elliptische partielle Differentialgleichungen mittels adaptiver numerischer Algorithmen zu lösen, sodass die numerischen Prozeduren optimale Konvergenzraten aufweisen. Im zweiten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Analyse von Singularitäten anhand der Shearlettransformation. Dieser Teil der Arbeit beschreibt das asymptotische Verhalten der Shearlettransformation und die Möglichkeit, anhand dieses Verhaltens eine Klassifizierung von Kurvensingularitäten vorzunehmen. Diese Analyse basiert auf den Arbeiten von Guo und Labate. Dort wurde die Klassifizierung anhand eines bandbeschränkten Shearlets vorgenommen. Die Resultate dieser Arbeiten werden für Shearlets mit kompaktem Träger erweitert. Die neuen Resultate belegen, dass in vielen Fällen eine Analyse mithilfe von Shearlets mit kompaktem Träger bessere Ergebnisse liefert als die klassischen Resultate. Die Verbesserungen beinhalten den Nachweis gleichmäßiger Abfallraten der Shearlettransformation, eine bessere Unterscheidbarkeit der Abfallraten unterschiedlich zu klassifizierender Singularitätskurven, sowie eine genaue Beschreibung des Einflusses der Krümmung einer Singularitätskurve auf das asymptotische Verhalten der Shearlettransformation.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5793
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5398
Exam Date: 3-Jun-2016
Issue Date: 2016
Date Available: 19-Jul-2016
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::518 Numerische Analysis
Subject(s): shearlets
partial differential equations
approximation theory
shearlet transform
adaptive discretization
partielle Differentialgleichungen
Approximationstheorie
Shearlettransformation
adaptive Diskretisierung
Sponsor/Funder: DFG, TRR 109, Discretization in Geometry and Dynamics
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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