Variational methods for discrete surface parameterization

Abstract

Based on the notion of discrete conformal equivalence we investigate discrete uniformization of Riemann surfaces. We generalize the concept from triangulations to cyclic nets, i.e., meshes with faces whose vertices lie on circles. We look into various examples of conformal maps in the plane, the sphere, tori, and surfaces of higher genus. We present three applications in the context of architectural geometry and show how discrete conformal maps are helpful when designing surfaces in this setting. Lastly we discuss the software developed in order to create the results.

Ausgehend vom Konzept diskret konformer Äquivalenz untersuchen wir die diskrete uniformisierung von Riemannschen Flächen. Wir verallgemeinern diese Begriffe von Triangulierungen auf zyklische Netze. Das sind Netze deren Vertices auf Kreisen liegen. Wir betrachten verschiedenen Beispiele diskret konformer Abbildungen in der Ebene, auf der Sphäre, auf dem Torus oder auf Flächen mit höherem Geschlecht. Wir präsentieren drei Anwendungen aus dem Gebiet der Architekturgeometrie und zeigen wie diskret konforme Abbildungen beim Design von Oberflächen Verwendung finden können. Schließlich besprechen wir die Software, die zur Erzeugung der Resultate entwickelt wurde.