Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5510
Main Title: Singular SPDEs and related topics
Translated Title: Singuläre SPDGen und verwandte Themen
Author(s): Cannizzaro, Giuseppe
Advisor(s): Friz, Peter Karl
Referee(s): Delarue, Francois
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: The focus of this thesis is on singular Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs). We present two works that, in different directions, explore the possibilities offered by the paracontrolled distributions approach [M. Gubinelli, P. Imkeller, N. Perkovski, Paracontrolled Distributions and Singular SPDEs, Forum of Math, Pi, 2015] and the theory of Regularity Structures, [M. Hairer, A theory of regularity structures, Invent. Math. 2014]. In the first, we make sense of Stochastic Differential Equations (SDEs) in which the drift is given by a function of time taking values in the space of distributions. Upon defining the domain of the generator of these equations as the set of solutions to an ill-posed (S)PDE, we are able to formulate a Stroock-Varadhan martingale problem for such SDEs and prove the latter is well-posed. This result is then applied to propose a universal construction of the polymer measure, and the case in which the potential is chosen to be a spatial white noise on the 2 and 3 dimensional torus is analyzed in detail. The procedure relies on a well-posedness result for a singular SPDE for which we exploit (once more) the paracontrolled distribution approach. At last we show that the measure so built is singular with respect to the Wiener one. In the second work, we aim at implementing Malliavin calculus in the context of Regularity Structures. This involves some constructions of independent interest, notably an extension of the structure which accommodates a robust, and purely deterministic, translation operator, in L 2 -directions, between “models”. Although we focus on one standard example to which the theory applies, i.e. the generalized Parabolic Anderson equation (gPAM), an effort is made throughout, with respect to future adaptations to more general equations, to highlight the main governing principles of our results. In the context of gPAM, we prove that its solution is Malliavin differentiable and show that, when evaluated at a space-time point, it admits a density with respect to the Lebesgue measure. The proof of this last fact is based on a novel strong maximum principle for solutions to a rather general class of linear SPDEs (in principle, any falling into the scope of the theory of Regularity Structures).
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf singulären stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDGen). Wir präsentieren zwei Arbeiten die auf verschiedene Weisen die Möglichkeiten des Paracontroll-Ansatzes [M. Gu- binelli, P. Imkeller, N. Perkovski, Paracontrolled Distributions and Singular SPDEs, Forum of Math, Pi, 2015] sowie der Theorie der Regularitäts Strukturen [M. Hairer, A theory of regularity structures, Invent. Math. 2014] erforschen. In der ersten geben wir stochastischen Differentialgleichungen (SDGen) einen Sinn, in welchen der Drift durch eine Funktion in der Zeit gegeben ist, die Werte im Raum der Distributionen annimmt. Wir definieren die Domäne des Generators solcher Gleichungen als Menge der Lösungen einer nicht wohldefinierten (S)PDG. Dadurch sind wir in der Lage ein Stroock-Varadhan Martingalproblem für solche SDGen zu formulieren und die Wohldefiniertheit solcher zu beweisen. Diese Resultat wird angewendet um eine universelle Konstruktion des Polymermaßes vorzuschlagen. Der Fall, in dem das Potential als räumliches weißes Rauschen auf dem 2 und 3 dimensionalen Torus gewählt wird, wird im Detail analysiert. Das Verfahren beruht auf einem Wohldefiniertheitsresultat für singuläre SPDGen, für die wir wieder den Paracontroll-Ansatz ausnutzen. Zuletzt zeigen wir, dass das so erhaltene Maßsingulär ist bezüglich des Wiener aßes. In der zweiten Arbeit wollen wir Malliavin Calculus in die Theorie der Regularitäts Strukturen implementieren. Dies involviert einige Konstruktionen von unabhängigen Interesse, vor allem eine Erweiterung jener Strukturen, die einen robusten, rein deterministischen, Translationsoperator in L 2 -Richtungen zwischen Modellen beherbergen. Obwohl wir uns nur auf ein Standardbeispiel, das allgemeine parabolische Anderson Model (gPAM), auf das die Theorie anwendbar ist, fokussieren, heben wir mit Hinblick auf zukünftige Anpassungen an allgemeinere Gleichungen die Hauptprinzipien unsere Ergebnisse hervor. Wir zeigen, dass die Lösung des gPAM Malliavin differenzierbar ist und wenn ausgewertet an einem Raum-Zeitpunkt eine Dichte bezüglich des Lebesgue Maßes besitzt. Der Beweis des letzten Fakts basiert auf ein neues starkes Maximumsprinzips für Lösungen von einer recht allgemeinen Klasse SPDGen (im Prinzip jede, die in der Reichweite der Theorie der Regularitäts Strukturen liegt).
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5917
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5510
Exam Date: 15-Sep-2016
Issue Date: 2016
Date Available: 1-Oct-2016
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
Subject(s): SPDEs
regularity structures
paracontrolled distributions
Malliavin calculus
polymer measure
SPDGen
Regularitäts Strukturen
Paracontroll-Ansatz
Polymermaß
Sponsor/Funder: DFG, RTG 1845, Stochastic Analysis with Applications in Biology, Finance and Physics
Usage rights: Terms of German Copyright Law
Appears in Collections:Institut für Mathematik » Publications

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