Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5584
Main Title: A selection of stochastic processes emanating from natural sciences
Translated Title: Eine Auswahl stochastischer Prozesse mit Ursprung in den Naturwissenschaften
Author(s): Wilke Berenguer, Maite Isabel
Advisor(s): Scheutzow, Michael
Referee(s): Scheutzow, Michael
Aurzada, Frank
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: The thesis consists of three independent parts: Part 1: Percolation. Chapter 1 is concerned with the topic of Lipschitz Percolation. Classic results are stated in Section 1.1 before moving on to the novel topic of Lipschtz percolation above tilted planes. Asymptotic bounds are derived for the critical probabilities involved, both for the dimension of the space going to infinity and the inclination of the plane going to 1. Part 2: Population Genetics. The core of Chapter 2 is a novel see-bank model designed in a similar framework as the combination of the classic Wright Fisher model and the Kingman coalescent. A brief introduction to these classic topics is given in Section 2.1, followed by a review of existing seed-bank models in Section 2.2. The Wright Fisher model with geometric seed-bank is then introduced in Section 2.3. We derive a forward scaling limit of the frequency process and define its dual block-counting process. This duality is then applied to characterize the long-term behaviour of the frequency diffusion. Section 2.4 identifies the coalescent structure corresponding to the block-counting process above. Section 2.5 is devoted to the properties of this seed-bank coalescent. We prove that it does not come down from infinity, find bounds on the time to the most recent common ancestor and derive recursions suited for numerical simulations. Part 3: Random Dynamical Systems. This part is made up of two chapters. Chapter 3 first introduces the notion of quadratic stochastic Volterra operators to then generalize this concept to polynomial stochastic Volterra operators. In Section 3.3 we consider an i.i.d. iteration of said polynomial stochastic operators. The main result of this chapter is the almost sure convergence of these random trajectories. Chapter 4 embedds this process in the set-up of random dynamical systems. Section 4.2 is concerned with the evolution forward in time of this random dynamical system (RDS). In particular, we identify the strong minimal forward point attractor. Section 4.3 analyzes the system going backward in time. We prove not only the existence of a strong global pullback attractor, but also, that this attractor is a singleton, i.e. that synchronization occurs. Finally, we introduce a new concept of attractors, so-called Δ-attractors, in Section 4.4 and prove their existence in our RDS for small Δ>0.
Die Dissertationsschrift besteht aus drei unabhängigen Teilen: Teil 1: Perkolation. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit dem Thema der Lipschitzschen Perkolation. Klassische Ergebnisse werden im Abschnitt 1.1 vorgestellt, gefolgt von dem neuen Thema der Lipschitzschen Perkolation über geneigten Ebenen. Asymptotische Schranken der auftretenden kritischen Wahrscheinlichkeiten werden sowohl für, wachsende Dimension des Raumes, als auch für das Streben der Neigung der Ebene gegen 1 hergeleitet. Hierbei wird eine Dualität zwischen Lipschitz Ebenen und sog. λ-Pfaden genutzt. Teil 2: Populationsgenetik. Der Inhalt des zweiten Kapitels besteht aus der Theorie zu einem neuen seed-bank Modell, das eine ähnliche Struktur wie die Kombination des klassische Wright Fisher Modells mit dem Kingman Koaleszenten aufweist. Einer kurzen Einführung dieser klassischen Problemstellungen in Abschnitt 2.1 folgt einer Übersicht und Zusammenfassung existierender seed-bank Modelle in Abschnitt 2.2. Das Wright Fisher Modell mit geometrischer seed-bank wird daraufhin in Abschnitt 2.3 eingeführt. Für dieses Modell wird der Skalierungslimes des Frequenzprozesses hergeleitet und dessen dualer block-counting Prozess definiert. Diese Dualität wird dann gewinnbringend angewandt, um das Langzeitverhalten der Frequenzdiffusion zu bestimmen. Abschnitt 2.4 beschreibt die Struktur des Koaleszente zum dazugehoerigen block-counting Prozess. Abschnitt 2.5 widmet sich den Eigenschaften dieses seed-bank Koaleszenten. Es wird bewiesen, dass dieser nicht von unendlich absteigt. Schranken der Dauer zum nächsten gemeinsamen Vorfahren werden ermittelt und Rekursionen zur numerischen Berechnung relevanter Größen aufgestellt. Teil 3: Zufällige Dynamische Systeme. Dieser Teil besteht aus zwei Kapiteln. In Kaptiel 3 werden zunächst quadratische stochastische Volterra Operatoren eingeführt und deren Theorie in Abschnitt 3.2 auf polynomielle stochstische Volterra Operatoren verallgemeinert. In Abschnitt 3.3 wird eine randomisierte iteration dieser Operatoren in Form von unabhängig, identisch verteilten Zufallsoperatoren untersucht. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist die fast sichere Konvergenz der resultierenden Folge. Kapitel 4 bettet diese Folge in das Konzept der zufälligen dynamischen Systeme ein. Abschsnitt 4.2 betrachtet die Evolution des Systems vorwärts in der Zeit und identifiziert unter Anderem den starken minimalen vorwärts Punkt-Attraktor. In Abschnitt 4.3 beschränken wir uns wieder auf quadratische Operatoren um das Verhalten des inversen Systems zu untersuchen. Für dieses können wir nicht nur die Existenz eines (nicht-trivialen) starken globalen pullback Attraktors zeigen, sondern auch, dass dieser fast sicher nur aus einem Punkt besteht, d.h., dass das System synchronisiert. Zu guter Letzt führen wir ein neues Konzept von attractoren - sog. Δ-Attraktoren - identifizieren diesen in unserem Modell für kleine Δ>0.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5997
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5584
Exam Date: 7-Oct-2016
Issue Date: 2016
Date Available: 23-Nov-2016
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
Subject(s): Lipschitz Percolation
population genetics
coalescents
random dynamical systems
attractors
Lipschitz Perkolation
Populationsgenetik
Koaleszenten
zufaellige dynamische Systeme
Attraktoren
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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