Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5588
Main Title: On relating aspects of tropical geometry, cluster algebras, and zonotopal algebras
Translated Title: Über verbindende Aspekte von tropischer Geometrie, Cluster-Algebren und zonotopischer Algebra
Author(s): Brodsky, Sarah
Advisor(s): Holtz, Olga
Referee(s): Holtz, Olga
Joswig, Michael
Rincón, Felipe
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: Each chapter of this dissertation touches upon subjects which at first glance may not seem related. Upon subtle inspection, aspects of tropical geometry, cluster algebras, and zonotopal algebra all relate to the combinatorics of the associahedra and are used to study mirror symmetry, scattering amplitudes, and other aspects of quantum mechanics. This dissertation is a collection of works which aim to strengthen the connections between the mathematical fields of tropical geometry, cluster algebras, and zonotopal algebra, as well as to strengthen their utility in the toolboxes of quantum mechanical studies. We begin with cluster algebras. It has been established in recent years how to approach acyclic cluster algebras of finite type using subword complexes. In chapter I, we continue this study by showing that the extended part of the mutation matrix coincides with the root configuration in the root space, and by starting to describe the Newton polytopes of the F-polynomials in the weight space. This chapter is based on unpublished work with Christian Stump. Next we move on to where cluster algebras and tropical geometry meet; in chapter II, we show that the number of combinatorial types of clusters of type D_4 modulo reflection-rotation is exactly equal to the number of combinatorial types of tropical planes in tropical projective 5-space. This follows from a result of Sturmfels and Speyer which classifies these tropical planes into seven com- binatorial classes using a detailed study of the tropical Grassmannian Gr(3,6). Speyer and Williams show that the positive part Gr+(3,6) of this tropical Grassmannian is combinatorially equivalent to a small coarsening of the cluster fan of type D_4. We provide a structural bijection between the rays of Gr+(3,6) and the almost positive roots of type D_4 which makes this connection more precise. This bijection allows us to use the pseudotriangulations model of the cluster algebra of type D_4 to describe the equivalence of “positive" tropical planes in tropical projective 5-space, giving a combinatorial model which characterizes the combinatorial types of tropical planes using automorphisms of pseudotriangulations of the octogon. This chapter is based on work with Cesar Ceballos and Jean-Philippe Labbé [14]. Next we go a bit deeper into tropical geometry, and study the moduli space of metric graphs that arise from tropical plane curves in chapter III. There are far fewer such graphs than tropicalizations of classical plane curves. For fixed genus g, our moduli space is a stacky fan whose cones are indexed by regular unimodular triangulations of Newton polygons with g interior lattice points. It has dimension 2g+1 unless g≤3 or g=7. We compute these spaces explicitly for g≤5. This chapter is based on joint published work with Michael Joswig, Ralph Morrison, and Bernd Sturmfels [13]. Lastly, we touch upon zonotopal algebras in chapter IV, linking the machinery of zonotopal algebra with two particular polytopes: the Stanley-Pitman polytope and a regular simplex Simn(t_1, ..., t_n). Specifically, we will discuss the central Dahmen-Micchelli space of the broken wheel graph BW_n and its dual, the P-central space. We will observe that the P-central space of BW_n is monomial, with a basis given by the BW_n-parking functions. We will show that the volume polynomial of the the Stanley-Pitman polytope lies in the central Dahmen-Micchelli space of BW_n and is precisely the polynomial in a particular basis of the central Dahmen-Micchelli space which corresponds to the monomial t_1·t_2 · · · t_n in the dual monomial basis of the P-central space. We will then define the generalized broken wheel graph GBWn(T) for a given rooted tree T on n vertices. For every such tree, we can construct 2^{n−1} directed graphs, which we will refer to as generalized broken wheel graphs. Each generalized broken wheel graph constructed from T will give us a polytope, its volume polynomial, and a reference monomial. The 2^{n−1} polytopes together give a polytopal subdivision of Simn(t_1,...,t_n), their volume polynomials together give a basis for the subspace of homogeneous polynomials of degree n of the corresponding central Dahmen-Micchelli space, and their reference monomials together give a basis for its dual. This chapter is based on unpublished work with Amos Ron.
Jedes Kapitel dieser Dissertation behandlet Themenbereiche welche auf den ersten Blick unzusammenhängend erscheinen mögen. Bei genauerer Betrachtung jedoch stellt man fest, dass tropische Geometrie, die Theorie der Cluster Algebren und Zonotopische Algebra enge Verbindungen zur Kombinatorik von Assoziaedern vorweisen und das jene Gebiete Anwendung in der Untersuchung von Spiegelsymmetrie, Streuamplituden und weiteren Aspekten der Quantenmechanik finden. Diese Dissertation ist eine Sammlung von Arbeiten, deren Ziel es ist einerseits die Zusammenhänge der mathematischen Gebiete der tropischen Geometrie, der Theorie der Cluster Algebren und zonotopaler Algebra zu vertiefen und andererseits den Nutzen genau dieser Gebiete als Werkzeuge der Quantenmechanik zu stärken. Wir beginnen mit Cluster Algebren. In den letzten Jahren stellte sich heraus wie azyklische Cluster Algebren endlichen Typs mit Hilfe von Teilwortkomplex is the literal translation untersucht werden können. In Kapitel I führen wir diese Bemühungen fort, indem wir zeigen, dass der erweiterte Teil der Mutationsmatrix mit der Wurzelkonfiguration im Wurzelraum übereinstimmt und indem wir beginnen die Newtonpolytope der F-Polynome im Gewichtsraum zu beschreiben. Dieses Kapitel basiert auf bisher unveröffentlichter Arbeit mit Christian Stump. Im nächsten Themenkomplex treffen sich Cluster Algebren und tropische Geometrie; in Kapitel II zeigen wir, dass die Zahl der kombinatorischen Typen von Clustern des Typs D_4 modulo Drehspiegelungen der Anzahl kombinatorischer Typen von tropischen Ebenen in TP^5 entspricht. Dies folgt aus einem Resultat von Sturmfels und Speyer, welches – mittels einer detaillierten Untersuchung der tropischen Grassmannschen Gr(3,6) – diese tropischen Ebenen in sieben kombinatorische Klassen einteilt. Speyer und Williams zeigten, dass der positive Teil Gr+(3,6) dieser tropischen Grassmannschen kombinatorisch äquivalent zu einer leichten Vergröberung des Clusterfächers vom Typ D_4 ist. Wir geben eine strukturelle Bijektion zwischen den Strahlen von Gr+(3,6) und den fast positiven Wurzel vom Typ D_4 an, welche diese Verbindungen präzisiert. Diese Bijektion erlaubt es uns das Pseudotriangulierungsmodell für Cluster Algebren des Typs D_4 zu nutzen, um die Äquivalenz ”positiver“ tropischer Ebenen in TP^5 zu beschreiben, womit wir ein kombinatorisches Modell erhalten, das die kombinatorischen Typen tropischer Ebenen mittels Automorphismen von Pseudotriangulieren des Oktagons charakterisiert. Diese Kapitel basiert auf gemeinsamer Arbeit mit Cesar Ceballos und Jean-Philippe Labbé [14]. Als nächstes beschäftigen wir uns näher mit tropischer Geometrie und untersuchen in Kapitel III den Modulraum der metrischen Graphen, die als tropische ebene Kurven auftreten. Es gibt weit weniger Graphen dieser Form als Tropikalisierungen klassischer ebener Kurven. Für festes Geschlecht g ist unser Modulraum ein stacky Fächer, dessen Kegel von regulären unimodularen Triangulierungen von Newtonpolygonen mit g inneren Gitterpunkten indiziert sind. Er hat Dimension 2g+1, außer für g≤3 und g=7. Wir berechnen diese Räume explizit für g≤5. Dieses Kapitel basiert auf gemeinsamer Arbeit mit Michael Joswig, Ralph Morrison und Bernd Sturmfels [13]. Zuletzt betrachten wir zonotaple Algebren in Kapitel IV, indem wir die Maschinerie zono- tapler Algebren mit zwei speziellen Polytopen verknüpfen: Das Stanley-Pitman Polytop und einer reguläre Simplex Simn(t_1, ..., t_n). Insbesondere werden wir den zentralen Dahmen-Micchelli Raum des Broken Wheel Graph BW_n und dessen dualen Graphen untersuchen. Wir werden sehen, dass der P-zentrale Raum von BW_n monomial ist, wobei die Basis gegeben ist durch die BW_n-parking Funktionen. Wir werden zeigen, dass das Volumenpolynom des Stanley-Pitman Polytops im zentralen Dahmen-Micchelli Raum von BW_n liegt und mit dem Polynom in einer gewissen Basis des zentralen Dahem-Micchelli Raums übereinstimmt, welches zu dem Monom t_1·t_2 · · · t_n in der dualen monomialen Basis des P-zentralen Raums korrespondiert. Wir werden den verallgemeinerten Broken Wheel Graph GBWn(T) für einen gegeben Baum T mit n Knoten definieren. Für jeden solchen Baum können wir 2^{n−1} gerichtete Graphen definieren, welche wir verallgemeinerte Broken Wheel Graphen nennen werden. Für jeden solchen verallgemeinerten Broken Wheel Graph erhalten wir ein Polytop, sein Volumenpolynom und ein Referenzmonom. Die 2^{n−1} Polytope gemeinsam betrachtet liefern eine polytopale Unterteilung von Simn(t_1,...,t_n), ihre Volu- menpolynome ergeben zusammen eine Basis des Unterraums der homogenen Polynome von Grad n des korrespondierenden zentral Dahmen-Micchelli Raums und ihre Referenzmonome ergeben zusammen eine Basis des Dualen. This Kapitel basiert auf unveröffentlichter Arbeit mit Amos Ron.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/6001
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5588
Exam Date: 29-Sep-2016
Issue Date: 2016
Date Available: 30-Nov-2016
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::512 Algebra
Subject(s): tropical geometry
cluster algebras
zonotopal algebra
positive Grassmannian
scattering amplitudes
tropische Geometrie
Cluster-Algebren
zonotopische Algebra
positiv Graßmann-Mannigfaltigkeit
Streuamplitude
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