Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5712
Main Title: Optimal control of patterns in some reaction-diffusion-systems
Translated Title: Optimalsteuerung von Mustern in Reaktions-Diffusions-Systemen
Author(s): Ryll, Christopher
Referee(s): Tröltzsch, Fredi
Borzi, Alfio
Engel, Harald
Casas, Eduardo
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: This thesis investigates the optimal control of reaction-diffusion-systems that exhibit various interesting patterns such as traveling wave fronts or spiral waves. In particular, we consider a model that consists of a semilinear parabolic equation which is linearly coupled with finitely many linear parabolic equations and covers a number of well-known systems such as the one component Schlögl-equation, the two component FitzHugh-Nagumo equations, or a three component system that admits localized spot solutions. The well-posedness of the model equation is discussed. We prove the existence of a well-defined control-to-state operator for the model equation, where the control is applied linearly to the first component of the system as distributed and/or boundary control. Under certain assumptions, this mapping is twice continuously Fréchet-differentiable. This circumstance allows us to deduce necessary optimality conditions of first order for associated optimal control problems with a tracking-type objective functional and Tikhonov regularization. Let us remark that those conditions are essential for employing (conjugate) gradient-type algorithms for numerical computations of an optimal control and therefore, of great importance. We also consider two extensions of the optimization problem that provide a step into more realistic applications. First, conditions on the state variables might appear. Second, it might be desired to apply even a distributed control only in parts of the considered space-time-cylinder. In order to model pre-defined conditions on the state variables, we introduce pointwise state-constraints. They make the analysis but also the numerical computations more delicate. Particularly, the well-posedness of a linearized model equation has to be discussed with regular Borel measures as data. Apart from state-constraints, as a second extension, so-called "sparse optimal controls" for distributed controls are investigated. By adding the (positively) weighted L^1-norm of the control to the objective functional, the associated optimal control for the problem vanishes in large areas of the considered space-time-cylinder, depending on the chosen weight of the L^1-norm. This property is an immediate consequence of the first order necessary optimality conditions. However, deriving those conditions is delicate since the objective functional is not differentiable any longer. A subdifferential calculus is required. In the context of sparse optimal controls, we also deduce sufficient optimality conditions of second order. These conditions are the basis for a following stability analysis of the optimal control problems with respect to a vanishing Tikhonov term. Various numerical results are presented in this thesis that confirm our theoretical finding.
Die Arbeit befasst sich mit der Optimalsteuerung von Reaktions-Diffusions-Systemen, die interessante Musterbildungen wie sich bewegende Wellenfronten oder Spiralwellen aufweisen. Insbesondere behandeln wir ein Model, welches aus einer semilinearen parabolischen Gleichung besteht, die linear mit endlich vielen linearen parabolischen Gleichungen gekoppelt ist und bekannte Modelle wie die einkomponentige Schlögl-Gleichung, die zweikomponentigen FitzHugh-Nagumo-Gleichungen und ein dreikomponentiges System zur Erzeugung lokalisierter Spot-Lösungen abdeckt. Zunächst wird sich mit der Frage der Wohlgestelltheit des Systems auseinandergesetzt. Wir beweisen die Existenz eines wohldefinierten Lösungs-Operators für die Modelgleichung, in der die Kontrolle linear in die erste Komponente des Systems als verteilte und/oder Randsteuerung eingeht. Unter bestimmten Voraussetzungen ist diese Abbildung zweimal stetig Fréchetdifferenzierbar. Dieser Umstand erlaubt es uns, notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für zugehörige Optimalsteuerungsprobleme mit einem "tracking-type" Funktional und Tikhonov-Regularisierung herzuleiten. Es sei angemerkt, dass diese Bedingungen essentiel für die Anwendung von (konjugierten) Gradientenverfahren für numerische Berechnungen einer optimalen Steuerung und daher von immenser Bedeutung sind. Wir betrachten zwei Erweiterungen des Optimalsteuerungsproblems, die einen Schritt in Richtung realistischerer Anwendungen darstellen. Zum einen sollen Bedingungen an die Zustandsvariablen berücksichtigt werden. Andererseits kann es vorkommen, dass selbst bei verteilter Steuerung gewünscht ist, dass die Steuerung nur in Teilen des betrachteten Raum-Zeit-Zylinders aktiv ist. Um vordefinierte Bedingungen für die Zustandsvariablen zu berücksichtigen, führen wir Zustandsbeschränkungen ein. Sie erschweren zum einen die Analysis aber auch die numerischen Berechnungen. Insbesondere muss die Wohldefiniertheit einer linearisierten Modelgleichung diskutiert werden, in der reguläre Borelmaße als Daten vorkommen. Abgesehen davon untersuchen wir als zweite Erweiterung sogenannte "sparse optimal controls" für verteilte Steuerungen. Durch das Hinzuf ugen der (positiv) gewichteten L^1-Norm der Steuerung zeigt sich, dass, abhängig von der Wahl des Gewichts, die optimale Steuerung bezüglich des Problems in weiten Regionen des betrachteten Raum-Zeit-Zylinders identisch null ist. Diese Eigenschaft folgt sofort aus den notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung. Allerdings birgt die Herleitung dieser Bedingungen einige Schwierigkeiten, da das Zielfunktional nicht mehr differenzierbar ist. Subdifferentiale werden benötigt. Im Zusammenhang mit sparse optimal controls leiten wir außerdem hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung her. Diese Bedingungen bilden die Basis für eine Stabilitätsanalysis von Optimalsteuerungsproblemen, bei denen der Tikhonov-Term verschwindet. Es werden verschiedene numerische Resultate präsentiert, die die theoretischen Überlegungen in dieser Arbeit untermauern.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/6147
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5712
Exam Date: 12-Dec-2016
Issue Date: 2017
Date Available: 8-Feb-2017
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::518 Numerische Analysis
Subject(s): optimal control
partial differential equations
sparse controls
Optimalsteuerung
partielle Differentialgleichungen
Usage rights: Terms of German Copyright Law
Appears in Collections:Technische Universität Berlin » Fakultäten & Zentralinstitute » Fakultät 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Institut für Mathematik » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
ryll_christopher.pdf3.65 MBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DepositOnce are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.