Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5960
Main Title: Well-posedness and stability of stochastic evolution equations arising from neuroscience
Translated Title: Wohlgestelltheit und Stabilität von stochastischen Evolutionsgleichungen in den Neurowissenschaften
Author(s): Krüger, Jennifer
Advisor(s): Stannat, Wilhelm
Referee(s): Buckwar, Evelyn
Stannat, Wilhelm
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: This thesis focuses on stochastic evolution equations arising from neuroscience. In the first part we investigate the existence and uniqueness of mild solutions to the stochastic neural field equation with discontinuous firing rate. This equation models the spatiotemporal evolution of neural activity in thin layers of cortical tissue from a macroscopic perspective. Neural activity is encoded in a population firing rate, which in our case is assumed to be a discontinuous Heaviside function. For this particular choice, but also for more general classes of nonlocal, nonlinear evolution equations with discontinuous coefficients, well-posedness is either violated or at least still an open problem, both for the stochastic equation and for its deterministic counterpart. We will prove the existence of a maximal mild solution to the neural field equation with Heaviside firing rate via a monotone iteration scheme and thereafter provide a first example for general non-uniqueness in the deterministic case. By imposing additional criteria we restrict the problem of uniqueness to several subclasses of solutions. Our main criterion, the so-called absolute continuity condition, is introduced and proven to guarantee the uniqueness of deterministic as well as stochastic mild solutions. Moreover, it will be shown that on finite domain suitably chosen Hilbert space-valued additive noise is able to regularise the equation without any further conditions. In this context, results of weak uniqueness are obtained by change of measure or alternatively, by studying the associated Kolmogorov operator. The second part provides a multiscale analysis of travelling wave dynamics in stochastic bistable reaction-diffusion equations with additive noise. This type of noise is observed to perturb the dynamics on two different scales, one of which are fluctuations in the shape of the wave profile and the other one is a random displacement of the wave from its uniformly translating position. Within the framework of variational solutions to stochastic partial differential equations and up to first order of the noise amplitude we derive a decomposition of the stochastic solution into the orthogonal sum of a travelling wave moving with randomly perturbed speed and Gaussian fluctuations. The result incorporates a gradient-descent procedure to track the stochastic position of the wave. Further, it is accompanied by explicit error estimates and eventually expresses the stability of travelling wave solutions under stochastic perturbations.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Analyse neurobiologisch motivierter stochastischer Evolutionsgleichungen. Im ersten Teil untersuchen wir die Existenz und Eindeutigkeit milder Lösungen der stochastischen neuronalen Feldgleichung mit unstetiger Feuerrate. Diese makroskopische Gleichung modelliert die orts- und zeitabhängige Ausbreitung neuronaler Aktivität in dünnen Gewebeschichten des menschlichen Kortex. Hierbei wird die Aktivität des umliegenden Feldes in Form einer Populationsfeuerrate kodiert, welche in der vorliegenden Arbeit als unstetige Heaviside-Funktion angenommen wird. In diesem Fall, aber auch für allgemeinere Klassen nichtlinearer, nichtlokaler Evolutionsgleichungen mit unstetigen Koeffizienten, ist die Wohlgestelltheit des Problems, d.h. die Existenz und Eindeutigkeit milder Lösungen, nicht immer gewährleistet beziehungsweise für viele stochastische sowie deterministische Gleichungen ungeklärt. Wir beweisen die Existenz einer maximalen milden Lösung mithilfe einer monotonen Iterationsmethode und illustrieren anschließend die Nichteindeutigkeit der deterministischen neuronalen Feldgleichung anhand eines ersten Beispiels. Unter Annahme zusätzlicher Eigenschaften der Lösung beweisen wir Eindeutigkeit in diversen Unterklassen milder Lösungen. Im zweiten Teil der Arbeit präsentieren wir eine Multiskalenanalyse von travelling wave-Dynamiken in stochastischen bistabilen Reaktionsdiffusionsgleichungen mit additivem Rauschen. Diese Art des Rauschens erzeugt Störungen der Dynamik auf zwei unterschiedlichen Skalen: Zum einen treten Fluktuationen in der Form der Wellenfront auf und zum anderen lässt sich eine zufällige Veränderung der im deterministischen Fall konstanten Wellengeschwindigkeit beobachten. Innerhalb der Theorie variationeller Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen leiten wir eine Zerlegung der Lösung in eine sich mit stochastisch gestörter Geschwindigkeit ausbreitende wandernde Welle und dazu orthogonale Gausssche Fluktuationen her. Diese Darstellung gilt bis zur ersten Ordnung bezüglich der eingehenden Rauschamplitude und wird ergänzt durch explizite Fehlerabschätzungen. Die Bestimmung der stochastischen Wellenposition erfolgt hierbei über eine Gradientenabstiegsdynamik. Insgesamt drücken die präsentierten Resultate die Stabilität der wandernden Welle unter kleinen stochastischen Störungen aus.
URI: http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/6413
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5960
Exam Date: 16-Jun-2017
Issue Date: 2017
Date Available: 28-Jun-2017
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::510 Mathematik
Subject(s): neural field equation
heaviside firing rate
non-uniqueness
reaction-diffusion equations
travelling wave solution
neuronale Feldgleichung
Heaviside-Feuerrate
Nicht-Eindeutigkeit
Reaktions-Diffusionsgleichungen
Travelling Wave-Lösungen
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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