Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-6505
Main Title: Verallgemeinerte Lösungen der Ericksen–Leslie-Gleichungen zur Beschreibung von Flüssigkristallen
Translated Title: Generalised solutions to the Ericksen-Leslie equation describing liquid crystals
Author(s): Lasarzik, Robert
Advisor(s): Emmrich, Etienne
Referee(s): Emmrich, Etienne
Wittbold, Petra
Tröltzsch, Fredi
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: de
Abstract: In this thesis, we investigate the Ericksen–Leslie equations modelling the evolution of nematic liquid crystals, which consist of rod-like molecules. The centers of mass of this molecules are randomly distributed but they are aligned in a common direction. This structure results in a complex anisotropic fluid with directional dependent physical properties. These materials have a plethora of applications, where liquid crystal displays (LCDs) are only the most prominent ones. After an introduction to the physics of liquid crystals and the different meso-phases, some historical remarks are given and some applications are named. Different models describing instationary flows of nematic liquid crystals are introduced and for each of these, an overview of the existing literature is given. The main part of this thesis is examines new solvability concepts to the Ericksen–Leslie equations. These model consists of an Navier–Stokes-like equation with additional stress tensors and an evolution equation for the anisotropic order parameter, which are nonlinearly coupled. The first new result concerns the global existence of weak solutions to the Ericksen–Leslie equations equipped with different classes of free energies. In contrast to previous work, we discretise the Navier–Stokes equation and the evolution equation for the additional order parameter simultaneously, using a Galerkin scheme based on eigenfunctions of the Stokes operator and an associated elliptic operator, respectively . This allows us to prove the global existence of weak solutions to the Ericksen–Leslie equations for a large class of free energy functionals. Some examples of physical relevant free energies, which are not covered by the mathematical literature jet, but fulfil the assumptions of the proof, are given. In the following chapter, we give a review of known results on generalised Young measures and the new concept of generalised gradient Young measures is introduced. These are used to prove the global existence of measure-valued solutions to the Ericksen–Leslie equations equipped with the Oseen–Frank energy. This is the first result on the global existence of solutions to this model. It relies on an appropriate regularisation technique and on a priori estimates capturing the nonlinear anisotropic structure of the problem. The limit can then be identified using the concept of generalised gradient Young measures. The last chapter is dedicated to different uniqueness results. The property of weak-strong uniqueness is proven for the weak solutions and the measure-valued solutions, respectively. The property of weak-strong uniqueness means that the generalised solutions coincide with a strong solution emanating from the same initial data as long as the strong solution exists. Additionally, this shows that the proposed concepts of solutions are a valid generalisation of classical solutions, since they coincide as long as the latter exists. The proof of the weak-strong uniqueness result for the measure-valued solutions relies on fine properties of the associated generalised gradient Young measure, which are all proven in this work.
Gegenstand dieser Arbeit ist die Analyse des Ericksen–Leslie-Modells zur Beschreibung der Evolution nematischer Flüssigkristalle. Nematische Flüssigkristalle setzen sich aus stabförmigen Molekülen zusammen, deren Massenmittelpunkte gleichmässig im Medium verteilt sind, die aber eine Ordnung in ihrer Orientierung ausbilden. Sie sind dadurch flüssig und weisen trotzdem komplexe richtungsabhängige physikalische Eigenschaften auf. Das macht sie sehr interessant für viele Anwendungen, wobei Liquid Crystal Displays (LCDs) nur die bekanntesten sind. Nach einer physikalischen Charakterisierung von Flüssigkristallen und den verschiedenen Mesophasen folgen einige historische Bemerkungen sowie bedeutende Anwendungen. Es werden verschiedene Modelle zur Beschreibung von instationären nematischen Flüssigkristallen vorgestellt und jeweils ein Literaturüberblick gegeben. Der Hauptteil der Arbeit besteht darin, die aus der Literatur bekannte Lösungstheorie der Ericksen–Leslie-Gleichungen zu erweitern. Die Ericksen–Leslie-Gleichungen setzen sich aus einer Navier–Stokes-ähnlichen Gleichung und einer nichtlinearen Evolutionsgleichung zur Modellierung der zusätzlichen Ordnung im System zusammen, wobei beide Gleichungen nichtlinear gekoppelt sind. Im ersten vorgestellten Resultat dieser Arbeit wird die globale Existenz schwacher Lösungen zu den Ericksen–Leslie-Gleichungen, ausgestattet mit zwei verschiedenen Klassen von freien Energien, bewiesen. Die Beweisführung unterscheidet sich stark von bisherigen Veröffentlichungen, in denen die Navier–Stokes-Gleichung diskretisiert und die Evolutionsgleichung des zusätzlichen Ordnungsparameters in jedem Schritt explizit gelöst wird. In dieser Arbeit beruht der Existenzbeweis auf einer simultanen Galerkin-Approximation der beiden Evolutionsgleichungen des Ericksen–Leslie-Modells. Das Galerkin-Schema setzt sich aus Eigenfunktionen eines assoziierten elliptischen Differentialoperators und des Stokes-Operators zusammen. Die veränderte Beweistechnik erlaubt es, allgemeine Klassen von freien Energien zu betrachten. Weiter werden einige physikalisch relevante Beispiele solcher freier Energien, die bisher nicht in der mathematischen Literatur betrachtet wurden, angegeben. Im nächsten Abschnitt wird eine Einführung in verallgemeinerte Young-Maße gegeben und eine neue Klasse von Young-Maßen, die sogenannten verallgemeinerten Gradienten-Young-Maße, vorgestellt. Diese werden genutzt, um die globale Existenz maßwertiger Lösungen des Ericksen–Leslie-Modells, ausgestattet mit der Oseen–Frank-Energie, zu beweisen. Dies ist das erste Resultat zur globalen Existenz dieser Evolutionsgleichungen. Für ein regularisiertes System werden A-priori-Abschätzungen hergeleitet, welche die nichtlineare anisotrope Struktur der Gleichungen berücksichtigen. Der Grenzübergang für verschwindende Regularisierung ist dann im Sinne der verallgemeinerten Gradienten-YOUNG-Maße möglich. Der letzte Abschnitt dieser Arbeit widmet sich zwei verschiedenen Einzigkeitsaussagen. Es wird die Eigenschaft der schwach-starken Einzigkeit für eine Klasse von Energien gezeigt, für die vorher die globale Existenz schwacher Lösungen bewiesen wurde und die Eigenschaft der maßwertig-starken Einzigkeit für die vorgestellten maßwertigen Lösungen. Die Eigenschaft der schwach-starken beziehungsweise maßwertig-starken Einzigkeit bedeutet, dass die schwachen beziehungsweise maßwertigen Lösungen mit einer lokalen starken Lösung, welche von den gleichen Anfangsdaten ausgeht, übereinstimmen, solange die letztere existiert. Unter zusätzlichen Regularitätsannahmen gilt demnach die Einzigkeit der Lösungen zum betrachteten System. Dies bedeutet auch, dass die vorgestellten Lösungen eine valide Verallgemeinerung der klassischen Lösungen sind, da beide Konzepte, falls klassische Lösungen existieren, übereinstimmen. Der Beweis der maßwertig-starken Einzigkeit beruht auf speziellen Eigenschaften der verallgemeinerten Gradienten-Young-Maße, die allesamt in dieser Arbeit bewiesen werden.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de//handle/11303/7229
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-6505
Exam Date: 15-Sep-2017
Issue Date: 2017
Date Available: 30-Nov-2017
DDC Class: DDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::515 Analysis
Subject(s): Flüssigkristalle
partielle Differentialgleichungen
Einzigkeit
Existenz
verallgemeinerte Lösungen
liquid crystal
partial differential equations
weak-strong uniqueness
existence
generalised solutions
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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