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dc.contributor.advisorJoswig, Michael-
dc.contributor.authorSchröter, Benjamin-
dc.date.accessioned2018-01-08T16:02:20Z-
dc.date.available2018-01-08T16:02:20Z-
dc.date.issued2018-
dc.identifier.urihttps://depositonce.tu-berlin.de//handle/11303/7321-
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.14279/depositonce-6594-
dc.description.abstractIn dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene Aspekte von tropischen linearen Räumen und deren Modulräumen, den tropischen Grassmannschen und Dressschen. Tropische lineare Räume sind dual zu Matroidunterteilungen. Motiviert durch das Konzept der Splits, dem einfachsten Fall einer polytopalen Unterteilung, wird eine neue Klasse von Matroiden eingeführt, die mit Techniken der polyedrischen Geometrie untersucht werden kann. Diese Klasse ist sehr groß, da sie alle Paving-Matroide und weitere Matroide enthält. Die strukturellen Eigenschaften von Split-Matroiden können genutzt werden, um neue Ergebnisse in der tropischen Geometrie zu erzielen. Vor allem verwenden wir diese, um Strahlen der tropischen Grassmannschen zu konstruieren und die Dimension der Dressschen zu bestimmen. Dazu wird die Beziehung zwischen der Realisierbarkeit von Matroiden und der von tropischen linearen Räumen weiter entwickelt. Die Strahlen einer Dressschen entsprechen den Facetten des Sekundärpolytops eines Hypersimplexes. Eine besondere Klasse von Facetten bildet die Verallgemeinerung von Splits, die wir Multi-Splits nennen und die Herrmann ursprünglich als k-Splits bezeichnet hat. Wir geben eine explizite kombinatorische Beschreibung aller Multi-Splits eines Hypersimplexes. Diese korrespondieren mit Nested-Matroiden. Über die tropische Stiefelabbildung erhalten wir eine Beschreibung aller Multi-Splits für Produkte von Simplexen. Außerdem präsentieren wir Berechnungen für explizite untere Schranken der Anzahl der Facetten einiger Sekundärpolytope von Hypersimplexen. Berechnungen und Algorithmen spielen auch im Weiteren eine wichtige Rolle. Wir führen eine neue Methode zum Berechnen von tropischen linearen Räumen und sogar allgemeiner von dualen Komplexen von polyedrischen Unterteilungen ein. Diese Methode basiert auf einem Algorithmus von Ganter (1984) für endliche Hüllensysteme. Außerdem beschreiben wir die Implementierung eines algebraischen Teilkörpers der formalen Puiseux-Reihen. Dieser kann eingesetzt werden zum Lösen von linearen Programmen und konvexen Hüllenproblemen, die jeweils von einem reelen Parameter abhängen. Darüber hinaus ist dieses Werkzeug sowohl für tropische Konvexgeometrie als auch tropische algebraische Geometrie wertvoll. Tropische Varietäten, wie zum Beispiel tropische lineare Räume oder tropische Grassmannsche, sind der gemeinsame Schnitt von endlich vielen tropischen Hyperflächen. Die Menge der zu den Hyperflächen gehörenden Polynome bildet eine tropische Basis. Für den allgemeinen Fall geben wir eine explizite obere Schranke für den Grad an, den die Polynome in einer tropischen Basis benötigen. Als Anwendung berechnen wir f-Vektoren von tropischen Varietäten und veranschaulichen die Unterschiede zwischen Gröbnerbasen und tropischen Basen.de
dc.description.abstractIn this thesis we study various aspects of tropical linear spaces and their moduli spaces, the tropical Grassmannians and Dressians. Tropical linear spaces are dual to matroid subdivisions. Motivated by the concept of splits, the simplest case of a subdivision, a new class of matroids is introduced, which can be studied via techniques from polyhedral geometry. This class is very large as it strictly contains all paving matroids. The structural properties of these split matroids can be exploited to obtain new results in tropical geometry, especially on the rays of the tropical Grassmannians and the dimension of the Dressian. In particular, a relation between matroid realizability and certain tropical linear spaces is elaborated. The rays of a Dressian correspond to facets of the secondary polytope of a hypersimplex. A special class of facets is obtained by a generalization of splits, called multi-splits or originally, in Herrmann’s work, k-splits. We give an explicit combinatorial description of all multi-splits of the hypersimplex. These are in correspondence to nested matroids and, via the tropical Stiefel map, also to multi-splits of products of simplices. Hence, we derive a description for all multi-splits of a product of simplices. Moreover, a computational result leads to explicit lower bounds on the total number of facets of secondary polytopes of hypersimplices. Other computational aspects are also part of our research: A new method for computing tropical linear spaces and more general duals of polyhedral subdivisions is developed and implemented in the software polymake. This is based on Ganter’s algorithm (1984) for finite closure systems. Additionally, we describe the implementation of a subfield of the field of formal Puiseux series. This is employed for solving linear programs and computing convex hulls depending on a real parameter. Moreover, this approach is useful for computations in convex and algebraic tropical geometry. Tropical varieties, as for example tropical linear spaces or tropical Grassmannians, are intersections of finitely many tropical hypersurfaces. The set of corresponding polynomials is a tropical basis. We give an explicit upper bound for the degree of a general tropical basis of a homogeneous polynomial ideal. As an application f-vectors of tropical varieties are discussed. Various examples illustrate differences between Gröbner bases and tropical bases.en
dc.language.isoenen
dc.subject.ddcDDC::500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::510 Mathematiken
dc.subject.otherMatroidede
dc.subject.otherPolyedrische Unterteilungende
dc.subject.othertropische Grassmannschede
dc.subject.othertropische Geometriede
dc.subject.otherGröbnerbasende
dc.subject.othermatroidsen
dc.subject.otherpolytopal subdivisionsen
dc.subject.othertropical Grassmanniansen
dc.subject.othertropical geometryen
dc.subject.otherGröbner basesen
dc.titleMatroidal subdivisions, Dressians and tropical Grassmanniansen
dc.typeDoctoral Thesisen
tub.accessrights.dnbfreeen
tub.publisher.universityorinstitutionTechnische Universität Berlinen
dc.contributor.grantorTechnische Universität Berlinen
dc.contributor.refereeMarkwig, Hannah-
dc.contributor.refereeFink, Alex-
dc.contributor.refereeJoswig, Michael-
dc.date.accepted2017-11-17-
dc.rights.otherTerms of German Copyright Lawen
dc.title.translatedMatroidale Unterteilungen, Dressische und tropische Grassmannschede
dc.type.versionacceptedVersionen
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