Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-7550
Main Title: Exact and soft recovery of structured signals from atomic and total variation norm regularization
Translated Title: Exakte und sanfte Rekonstruktion von strukturierten Signalen mittels atomischer und totaler Variation-Normminimierung
Author(s): Flinth, Axel
Advisor(s): Kutyniok, Gitta
Referee(s): Kutyniok, Gitta
Gribonval, Rémi
Krahmer, Felix
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: This thesis treats regularization techniques of inverse problems using TV- and atomic norms. In the first part of the thesis, the two concepts are connected, making a unified treatment in the rest of the thesis possible. Concretely, it is proven that for reasonable dictionaries, atomic norms can be calculated with the help of TV -minimization, and that the TV -norm can be considered as an atomic norm with respect to a special dictionary in a Hilbert space. The theory is formulated in an infinite-dimensional setting - finite dimensional examples are however also included as subcases. In the following chapter, a result on the structure of solutions of TV -regularized problems is proven. Formulated and proven in an abstract setting, it states that in most cases, there will exist sparse solutions of the TV -regularized problems. In the chapter thereafter, exact recovery guarantees are discussed. The main aim of that chapter is to provide a link between TV -minimization and atomic norm-minimization with respect to certain dictionaries in so-called reproducible Kernel Hilbert spaces. These results are then applied to produce recovery guarantees for measurement models not previously treated in the literature. In the chapter thereafter, the framework of soft recovery is developed. A method is presented to prove approximate support recovery guarantees. This is first formulated in a very general manner, and then applied to numerous examples. New results on the recoverability of large peaks in standard, finite dimensional dictionary sparse recovery is proven, as well as soft recovery guarantees for several different types of superresolution problems. In the final chapter, methods for numerical resolution of infinite dimensional TV-regularized problems are discussed. The main novel finding is a connection between grid discretization of the TV -regularized problem and linearization of the operator used to probe the signal.
Diese Doktorarbeit behandelt Regularisierungstechniken für inverse Probleme, die TV- und atomische Normen verwenden. Im ersten Tail der Arbeit werden die beiden Konzepte verbunden, so dass eine einheitliche Behandlung in den weiteren Teilen der Arbeit möglich ist. Konkret wird bewiesen dass atomische Norme für vernünftige Dictionaries mittels TV-minimierung berechnet werden können, und dass die TV-Norm als eine atomische Norm bezüglich eines bestimmten Dictionary in einem Hilbertraum aufgefasst werden kann. Die Theorie wird in einem unendlichdimensionalen Rahmen formuliert, endlichdimensionale Beispiele sind allerdings auch als Spezialfälle inkludiert. Im darauffolgenden Kapitel wird ein Resultat zur Struktur von Lösungen von TV-regularisierte Probleme bewiesen. Das Resultat wird in einem abstrakten Rahmen formuliert und bewiesen, und sagt aus, dass es in den meisten Fällen dünn besetzte Lösungen existieren. Im Kapitel danach werden exakte Rekonstruktionsgarantien diskutiert. Das Hauptzeil dieses Kapitels ist es, eine Verbindung zwischen TV-Minimierung und atomische Norm-Minimierung bezüglich bestimmte Dictionaries in sogenannten Reproducing Kernel-Hilberträume herzustelen. Diese Resultate werden danach verwendet, um Rekonstruktionsgarantien zu erzeugen für Messmodelle, die bisher nicht betrachtet wurden. Im nächsten Kapitel wird das Konzept der sanften Rekonstruktion entwickelt. Es wird eine Methode vorgestellt, die verwendet werden kann, um approximative Trägerrekonstruktionsgarantien zu beweisen. Diese wird zunächst in einer sehr allgemeinen Form formuliert, und anschließend an mehreren Beispielen appliziert. Es werden sowohl eue Resultate zur Rekonstruktionsmöglichkeit von große Komponenten in endlichdimensionale Dictionary-dünn-besetzte Signale, als auch sanfte Rekonstruktionsgarantien für mehrere Arten von Superresolutionsprobleme bewiesen. Im letzten Kapitel werden Methode zur numerischen Lösung von unendlichdimensionale TV-regularisierte Probleme diskutiert. Das hauptsächliche neue Erkenntnis ist die Herstellung einer Verbindung zwischen Gitterdiskretizierung vom TV-regularisierten Problem und eine Linearisierung des Operators, die für die Messung der Signale verwendet wird.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de//handle/11303/8401
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-7550
Exam Date: 14-Sep-2018
Issue Date: 2018
Date Available: 1-Dec-2018
DDC Class: 518 Numerische Analysis
519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
Subject(s): inverse problems
compressed sensing
signal processing
inverse Probleme
Signalbearbeitung
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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