Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-7572
Main Title: Spectral properties of the random conductance model
Translated Title: Spektrale Eigenschaften des Modells zufälliger Leitfähigkeiten
Author(s): Flegel, Franziska
Advisor(s): König, Wolfgang
Referee(s): König, Wolfgang
Neukamm, Stefan
Berger, Noam
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: Charge and exciton transport in disordered media plays an essential role in modern technologies. Classical examples are amorphous and organic semiconductors where the disorder can give rise to localized electron states. These localized electrons effectively behave like discrete particles hopping between discrete sites in an inhomogeneous environment. A popular model for such a hopping process is the random walk among random conductances where the jump rate between any two sites is the same in both directions. The long-time behavior of such a random walk, when it is killed at the boundary of a large box, is intimately linked to the first eigenvectors and eigenvalues of its generator with zero Dirichlet boundary condition. This follows directly from the spectral decomposition of the associated heat equation. In this thesis, we study these first eigenvectors and eigenvalues when the underlying lattice is Z^d. In addition to the spectrum, we study the homogenization properties of the corresponding Poisson equation. Regarding the spectrum, we find that in dimensions d≥2 and for independent and identically distributed positive conductances, there is a sharp transition between a completely localized and a completely homogenized regime. This transition hinges on the exponent q=sup{r≥0: E[ω^(-r)]<∞} where E[ω^(-r)] is the inverse rth moment of the conductance ω. If q<1/4, then we show that for almost every environment the first Dirichlet eigenvectors asymptotically concentrate in a single site and the corresponding eigenvalues scale subdiffusively. We further prove weak convergence of the rescaled eigenvalues to non-degenerate random variables. Our proofs are based on a spatial extreme value analysis of the local speed measure, Borel-Cantelli arguments, the Rayleigh-Ritz formula, results from percolation theory, path arguments and the Bauer-Fike theorem. On the other hand, if q>1/4, then we show that the properly rescaled first eigenvectors and eigenvalues converge almost-surely to the first eigenvectors and eigenvalues of a homogenized operator. For this result it is sufficient to assume stationary and ergodic conductances, which are positive between nearest neighbors. Apart from that, we further allow unbounded-range connections. In this general case we need a stronger integrability condition on the lower tail of the conductances, which coincides with a well-known necessary condition for the validity of a local central limit theorem for the random walk among random conductances. The main result on the way to spectral homogenization is the homogenization of the corresponding Poisson equation. More precisely, we prove two-scale convergence of the solutions and their gradients. As an application of spectral homogenization, we prove a quenched large deviation principle for the normalized and rescaled local times of the random walk in a growing box. Our proofs are based on a compactness result for the Laplacian's Dirichlet energy, Poincaré inequalities, Moser iteration and two-scale convergence.
Die elektronischen Transporteigenschaften ungeordneter Medien spielen eine wichtige Rolle in vielen modernen Technologien. Klassische Beispiele sind amorphe und organische Halbleiter, deren Eigenschaften stark davon geprägt sind, dass viele Elektroneneigenzustände auf Grund der Unordnung lokalisiert sind. Diese lokalisierten Elektronen verhalten sich wie diskrete Teilchen, die in der inhomogenen Umgebung zwischen diskreten Orten hin und her springen. Ein verbreitetes Modell für einen solchen Sprungprozess ist die Irrfahrt (random walk) mit zufälligen Leitfähigkeiten, für die die Sprungrate zwischen zwei Orten in beide Richtungen die gleiche ist. Das Langzeitverhalten einer solchen Irrfahrt, die zusätzlich darauf bedingt wird eine große Box nicht zu verlassen, wird stark durch die ersten Eigenvektoren und Eigenwerte ihres Generators mit Null-Dirichlet-Randbedingungen bestimmt. Dies folgt direkt aus der spektralen Zerlegung der zugehörigen Diffusionsgleichung. In dieser Dissertation untersuchen wir diese ersten Eigenvektoren und Eigenwerte, wenn das zu Grunde liegende Gitter Z<sup>d</sup> ist. Zusätzlich zum Spektrum untersuchen wir die Homogenisierungseigenschaften der verwandten Poissongleichung. Für das Spektrum beobachten wir in Dimensionen d≥2 für unabhängige gleichverteilte Leitfähigkeiten einen scharfen Übergang zwischen einem komplett lokalisierten und einem komplett homogenisierten Regime. Dieser Übergang wird durch den Exponenten q=sup{r≥0: E[ω^(-r)]<∞} bestimmt, wobei E[ω^(-r)] das inverse r-te Moment der Leitfähigkeiten ω ist. Für den Fall q<1/4 zeigen wir, dass sich die ersten Dirichlet-Eigenvek-toren für fast alle Realisierungen der Umgebung in einem einzigen Ort konzentrieren und, dass der zugehörige Eigenwert subdiffusiv skaliert. Weiterhin zeigen wir, dass die reskalierten Eigenwerte in Verteilung zu nicht-trivialen Zufallsvariablen konvergieren. Unsere Beweise benutzen eine räumliche Extremwertanalyse des lokalen Geschwindigkeitsmaßes, Borel-Cantelli-Argumente, das Rayleigh-Ritz-Prinzip, Ergebnisse aus der Perkolationstheorie, Pfadargumente und das Bauer-Fike-Theorem. Auf der anderen Seite, wenn q>1/4, dann zeigen wir, dass die richtig reskalierten ersten Eigenvektoren und Eigenwerte fast sicher zu den ersten Eigenvektoren und Eigenwerten eines homogenisierten Operators konvergieren. Für dieses Resultat können wir sogar annehmen, dass die Leitfähigkeiten stationär und ergodisch sind und langreichweitige Verbindungen existieren, solange wir weiterhin annehmen, dass die Leitfähigkeiten zwischen nächsten Nachbarn positiv bleiben. In diesem allgemeinen Fall brauchen wir allerdings eine stärkere Integrabilitätsbedingung an die unteren Schwänze der Leitfähigkeiten. Diese Bedingung fällt mit einer bekannten notwendigen Bedingung für den lokalen zentralen Grenzwertsatz der zugehörigen Irrfahrt zusammen. Unser Hauptresultat auf dem Weg zu spektraler Homogenisierung ist die Homogenisierung der verwandten Poissongleichung. Genauer gesagt beweisen wir die Zweiskalenkonvergenz der Lösungen und ihrer Gradienten. Als eine Anwendung der spektralen Homogenisierung zeigen wir ein fast-sicheres Prinzip der großen Abweichungen für die normierten und reskalierten Lokalzeiten der Irrfahrt in einer wachsenden Box. Unsere Beweise basieren auf einem Kompaktheitsresultat für die Dirichletenergie des Generators, Poincaré-Ungleichungen, Moseriteration und Zweiskalenkonvergenz.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de//handle/11303/8426
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-7572
Exam Date: 18-Jul-2018
Issue Date: 2019
Date Available: 4-Feb-2019
DDC Class: 519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
Subject(s): random conductance model
Dirichlet spectrum
random walk
homogenization
localization
Modell zufälliger Leitfähigkeiten
Dirichlet-Spektrum
zufällige Irrfahrt
Homogenisierung
Lokalisierung
Sponsor/Funder: DFG, RTG 1845, Stochastic Analysis with Applications in Biology, Finance and Physics
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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