Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-597
Main Title: Spectral properties of a class of analytic operator functions and their linearizations
Translated Title: Spektrale Eigenschaften einer Klasse analytischer Operatorfunktionen und ihrer Linearisierungen
Author(s): Trunk, Carsten
Advisor(s): Jonas, Peter
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In dieser Arbeit untersuchen wir eine Operatorfunktion T in einem Kreinraum, welche formal geschrieben werden kann als T(z) = z -A + B+(D-z)-1B, wobei anstelle des letzten Terms auf der rechten Seite eine bezüglich A relativ formkompakte Störung ähnlicher Gestalt steht. Die Operatorfunktion -T-1 kann dann mittels der Resolvente eines in einem Kreinraum selbstadjungierten Operators M, der eine relativ formkompakte Störung von A × D ist, dargestellt werden. Wir beschreiben die Beziehungen zwischen der Operatorfunktion T und dem Operator M, insbesondere untersuchen wir das Spektrum, das Punktspektrum und das Spektrum positiven bzw. negativen Typs. Unter bestimmten Voraussetzungen an die Operatoren A, B und D ist M ein definisierbarer Operator und -T-1 eine definisierbare Operatorfunktion. In diesem Fall beschreiben wir die Beziehungen zwischen dem Spektrum positiven bzw. negativen Typs, einschließlich der entsprechenden Vielfachheiten, von M und -T-1. Die dabei gewonnenen Ergebnisse werden auf ein Sturm-Liouville-Problem angewandt, bei dem die Koeffizienten rational vom Eigenwertparameter abhängen. In diesem Fall entspricht die Operatorfunktion T dem Differentialausdruck py'' +z y + q1,+(u1,+ - z)-1 y + ... + qn+,+(un+,+ - z)-1 y + q1,-(u1,- - z)-1 y + ... + qn-,-(un-,- - z)-1 y auf dem Interval I := [-1,1]. Dabei ist z eine komplexe Zahl, p ein einfaches indefinites Gewicht, und qj,±, uj,± sind reellwertige meßbare Funktionen, die bestimmten Voraussetzungen genügen. Weiterhin betrachten wir den Fall, daß der obige Differentialausdruck auf der Halbachse I=[0,infty) mit p = 1 erklärt ist.
We consider an operator function T in a Krein space which can formally be written as T(z) = z -A + B+(D-z)-1B, but the last term on the right is replaced by a relatively form-compact perturbation of a similar form. The operator function -T-1 can be represented via the resolvent of a selfadjoint operator M in some Krein space. The operator M is a relatively form-compact perturbation of the operator A × D. We study relations between the operator function T and the operator M. In particular we consider the spectrum, the point spectrum and the spectrum of positive or negative type. Under some assumptions on the operators A, B and D the operator M is a definitizable operator and -T-1 is a definitizable operator function. In this case we describe the relation between the spectrum of positive or negative type of M and -T-1, including multiplicities. The results are applied to a Sturm-Liouville problem with a coefficient depending rationally on the eigenvalue parameter. In particular, the operator function T is given by the expression py'' +z y + q1,+(u1,+ - z)-1 y + ... + qn+,+(un+,+ - z)-1 y + q1,-(u1,- - z)-1 y + ... + qn-,-(un-,- - z)-1 y on the interval I := [-1,1]. Here z is a complex number, p a simple indefinite weight and qj,±, uj,± are real valued measurable functions satisfying some further assumptions. Moreover, we consider the case of the half-axis I = [0,infty) with p=1.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-4994
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/894
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-597
Exam Date: 19-Nov-2002
Issue Date: 15-Jan-2003
Date Available: 15-Jan-2003
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Nichtlineares Eigenwertproblem
Kreinraum
definisierbarer Operator
Spektraltheorie
Operatorfunktion
Nonlinear eigenvalue problem
Krein space
definitizable operator
floating singularity
spectral theory of operator functions
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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