Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-8210
Main Title: Subspace concentration of geometric measures
Translated Title: Unterraumkonzentration von geometrischen Maßen
Author(s): Pollehn, Hannes
Advisor(s): Henk, Martin
Referee(s): Henk, Martin
Ludwig, Monika
Yang, Deane
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: In this work we study geometric measures in two different extensions of the Brunn-Minkowski theory. The first part of this thesis is concerned with problems in Lp Brunn-Minkowski theory, that is based on the concept of p-addition of convex bodies, which was first introduced by Firey for p = 1 and later considered for all real p by Lutwak et al. The interplay of the volume and other functionals with the p-addition is of particular interest. Considerable open problems in this setting include the validity of extensions of the celebrated Brunn-Minkowski inequality and Minkowski’s inequality, particularly for 0 = p < 1 as the inequalities become stronger for smaller p. The generalization of Minkowski’s inequality to p = 0 is called logarithmic Minkowski inequality, which we will prove here for some particular polytopal instances. The study of the cone-volume measure of convex bodies is another central subject in Lp Brunn-Minkowski theory, which exhibits a strong connection to the logarithmic Minkowski inequality. Fundamental questions in this context ask for a characterization of these measures and when a convex body is uniquely determined by its cone-volume measure. The latter is unknown even for symmetric convex bodies whereas the former problem was solved in this case. The key property in the solution is a concentration bound of a given cone-volume measure restricted to linear subspaces. We will establish a characterization of cone-volume measures of trapezoids and present new examples of convex bodies with non-unique cone-volume measure. Thereby we will discuss how the presence of a subspace concentration bound affects the aforementioned questions. In the second part we consider an only recently discovered family of geometric measures arising in dual Brunn-Minkowski theory. The so-called dual curvature measures of convex bodies act as counterparts of curvature measures in the classical Brunn-Minkowski theory and include the cone-volume measure as a special case. Dual curvature measures gained much interest in the last few years. The task of extending the results obtained for cone-volume measures to the more general dual curvature measures requires novel subspace concentration inequalities. Following the ideas of Kneser and Süss we establish variants of the Brunn-Minkowski inequality under some symmetry assumptions with the aid of which we prove sharp subspace concentration bounds on nearly all dual curvature measures of symmetric convex bodies.
In dieser Arbeit untersuchen wir geometrische Maße in zwei verschiedenen Erweiterungen der Brunn-Minkowski-Theorie. Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit Problemen in der Lp-Brunn-Minkowski-Theorie, die auf dem Konzept der p-Addition konvexer Körper basiert, die zunächst von Firey für p = 1 eingeführt und später von Lutwak et al. für alle reellen p betrachtet wurde. Von besonderem Interesse ist das Zusammenspiel des Volumens und anderer Funktionale mit der p-Addition. Bedeutsame offene Probleme in diesem Setting sind die Gültigkeit von Verallgemeinerungen der berühmten Brunn-Minkowski-Ungleichung und der Minkowski-Ungleichung, insbesondere für 0 = p < 1, da die Ungleichungen für kleinere p stärker werden. Die Verallgemeinerung der Minkowski-Ungleichung auf p = 0 wird als logarithmische Minkowski-Ungleichung bezeichnet, die wir hier für vereinzelte polytopale Fälle beweisen werden. Das Studium des Kegelvolumenmaßes konvexer Körper ist ein weiteres zentrales Thema in der Lp -Brunn-Minkowski-Theorie, das eine starke Verbindung zur logarithmischen Minkowski-Ungleichung aufweist. In diesem Zusammenhang stellen sich die grundlegenden Fragen nach einer Charakterisierung dieser Maße und wann ein konvexer Körper durch sein Kegelvolumenmaß eindeutig bestimmt ist. Letzteres ist für symmetrische konvexe Körper unbekannt, während das erstere Problem in diesem Fall gelöst wurde. Die Schlüsseleigenschaft in der Lösung ist eine Konzentrationsgrenze eines gegebenen Kegelvolumenmaßes eingeschränkt auf lineare Unterräume. Wir werden eine Charakterisierung von Kegelvolumenmaßen von Trapezen herleiten und neue Beispiele konvexer Körper mit nicht-eindeutigem Kegelvolumenmaß präsentieren. Dabei werden wir diskutieren, wie das Vorhandensein einer Schranke an die Konzentration auf Unterräumen die oben genannten Fragen beeinflusst. Im zweiten Teil betrachten wir eine erst kürzlich entdeckte Familie geometrischer Maße, die in der dualen Brunn-Minkowski-Theorie vorkommt. Die sogenannten dualen Krümmungsmaße von konvexen Körpern fungieren als Gegenstücke zu Krümmungsmaßen in der klassischen Brunn-Minkowski-Theorie und schließen das Kegelvolumenmaß als Sonderfall ein. Duale Krümmungsmaße haben in den letzten Jahren großes Interesse geweckt. Die Aufgabe, die Resultate, die für Kegelvolumenmaße erzielt wurden, auf die allgemeineren dualen Krümmungsmaße auszudehnen, erfordert neuartige Abschätzungen der Unterraumkonzentration. Den Ideen von Kneser und Süss folgend, beweisen wir Varianten der Brunn-Minkowski-Ungleichung unter gewissen Symmetrievoraussetzungen, mit deren Hilfe wir scharfe Schranken an die Unterraumkonzentration für nahezu alle dualen Krümmungsmaße symmetrischer konvexer Körper folgern.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/9121
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-8210
Exam Date: 7-Feb-2019
Issue Date: 2019
Date Available: 1-Apr-2019
DDC Class: 516 Geometrie
Subject(s): convex geometry
cone-volume measure
logarithmic Minkowski problem
dual curvature measure
dual Minkowski problem
Konvexgeometrie
Kegelvolumenmaß
logarithmisches Minkowski-Problem
duales Krümmungsmaß
duales Minkowski-Problem
License: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
Appears in Collections:FG Diskrete Mathematik / Geometrie » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
pollehn_hannes.pdf1.17 MBAdobe PDFThumbnail
View/Open


This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons