Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-653
Main Title: Möbius Invariant Flows of Tori in S4
Translated Title: Möbius invariante Flüsse von Tori in S4
Author(s): Bohle, Christoph
Advisor(s): Pinkall, Ulrich
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Diese Arbeit beschreibt, wie Bäcklund- und Darbouxtransformationen sowie Solitonenflüsse für allgemeine konforme Immersionen von Riemannschen Flächen in die 4-Sphäre definiert werden können. Dabei wird detailliert auf den Zusammenhang zu den klassischen Transformationstheorien für Isotherm- und Willmoreflächen eingegangen, die als Spezialfälle in der neuen Theorie enthalten sind. Das Hauptinteresse dieser Arbeit gilt den globalen Eigenschaften der Transformationen im Fall konformer Immersionen von Riemannschen Flächen des Geschlechts 1. Es wird gezeigt, dass im Fall konformer Immersionen eines Torus mit Normalbündel vom Grad 0 sowohl Bäcklund- als auch Darbouxtransformationen das Willmorefunktional und das sogenannte Spektrum erhalten. Für diese Immersionen wird eine Spektralkurve definiert, welche die Menge der Darbouxtransformationen der Immersion parametrisiert und eine natürliche Interpretation als holomorphe Kurve in $CP^3$ erlaubt. Die Solitonenflüsse werden als spezielle Deformationen quaternionisch projektiver Strukturen eingeführt. Es werden Evolutionsgleichungen für die Invarianten hergeleitet, die nach dem Fundamentalsatz der Flächentheorie in der 4--dimensionalen Möbiusgeometrie eine konforme Immersion bis auf Möbiustransformation eindeutig beschreiben. Als Beispiel wird gezeigt, dass der Davey--Stewartson--Fluss für Flächen, im Fall von Zylindern, Rotationsflächen und Kegeln über Kurven in 3--dimensionalen Raumformen, den bekannten Rauch--Ring--Fluss für Raumkurven ergibt und dass analog der Novikov--Veselov--Fluss dem mKdV--Fluss für Raumkurven entspricht. Abschließend werden die beiden folgenden Sätze bewiesen: der erste Satz besagt, dass ein Torus in der 4--Sphäre, der in einer 3--Sphäre enthalten ist, genau dann unter dem Davey--Stewartson--Fluss stationär ist, wenn er isotherm und constrained Willmore ist. Der zweite Satz zeigt, dass man den Davey--Stewartson--Fluss unter bestimmten Annahmen als Grenzwert von Darbouxtransformationen erhält.
This thesis describes, how Bäcklund and Darboux transformations as well as soliton flows can be defined for general conformal immersions of Riemann surfaces into the 4-sphere. This generalizes the classical transformation theories für isothermic und Willmore surfaces. The emphasis is on the global theory for conformal immersions of tori.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-5555
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/950
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-653
Exam Date: 4-Jul-2003
Issue Date: 3-Sep-2003
Date Available: 3-Sep-2003
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Darboux Transformationen
Konforme Immersionen eines Torus
Quaternionische Flächentheorie
Solitonenflüsse
Spektralkurven
Conformal immersions of tori
Darboux transformations
Quaternionic surface theory
Soliton flows
Spectral curves
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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