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Dynamical properties of rough delay equations

Ghani Varzaneh, Mazyar

AG Stochastik und Finanzmathematik

In this monograph, we investigate the long-time behavior of stochastic delay equations. Our approach is random dynamical systems, and we solve our equation in the rough path point of view. Namely, we deal with the singular case, i.e., when the delay terms also are appearing in the diffusion part. Although we can solve the equation using the classical tools of stochastic analysis, the main obstacle is the lack of flow property. More precisely, the solution does not depend continuously on the initial value. To solve this problem, we define this property differently. We will show how we can generate a flow property on fields of Banach spaces using rough path theory. As a consequence, we prove the cocycle property and establish a Wong-Zakai theorem. Since we use rough path theory, we can apply our results to the case where the noise consists of Brownian motions or fractional Brownian motions with 1/3 < H < 1/2. The main theorem in random dynamical systems is the celebrated multiplicative ergodic theorem (MET). Inspired by our framework, we prove a version of this theorem on fields of Banach spaces. Moreover, assuming the invertibility of the basis, we show Oseledets splitting. We then apply this theorem to stochastic linear delay equations and demonstrate linear delay equations possess a Lyapunov spectrum. This result is remarkable, as it provides a comprehensive explanation for the stability and chaotic behavior of the stochastic delay flows. The existence of invariant manifolds is an application of the MET. Using the MET, we prove this theorem for nonlinear cocycles acting on measurable fields of Banach spaces. In particular, we prove local stable and unstable manifold theorems for nonlinear, singular stochastic delay differential equations around the stationary points. This monograph also contains a separate chapter on the concept of the metric entropy for the stochastic flows, which are invariant in finitely many directions. Having defined the entropy for this class of flows, we prove Ruelle’s inequality accordingly. This inequality states that metric entropy is bounded by the sum of the positive Lyapunov exponents.
In dieser Monografie untersuchen wir das Langzeitverhalten von stochastischen Verzögerungsgleichungen. Unser Ansatz sind zufällige dynamische Systeme, und wir lösen unsere Gleichung unter dem Gesichtspunkt der Theorie der rough paths. Wir befassen uns vor allem mit dem singulären Fall, in dem die Verzögerungsterme auch im Diffusionsteil vorkommen. Obwohl wir die Gleichung mit den klassischen Werkzeugen der stochastischen Analysis lösen können, ist das Haupthindernis das Fehlen der Flusseigenschaft. Genauer gesagt hängt die Lösung nicht kontinuierlich vom Anfangswert ab. Um dieses Problem zu lösen, definieren wir diese Eigenschaft anders. Wir werden zeigen, wie wir eine Flusseigenschaft auf Feldern von Banach-Räumen mithilfe der rough path Theorie erzeugen können. Infolgedessen beweisen wir die Kozykel-Eigenschaft und stellen ein Wong-Zakai-Theorem auf. Da wir die rough path Theorie verwenden, können wir unsere Ergebnisse auf den Fall anwenden, dass das Rauschen aus Brownschen Bewegungen oder fraktionalen Brownschen Bewegungen mit 1/3 < H < 1/2 besteht. Das wichtigste Theorem in zufälligen dynamischen Systemen ist der berühmte Multiplikative Ergodensatz (MET). Angeregt durch unseren Rahmen beweisen wir eine Version dieses Theorems auf Feldern von Banachräumen. Außerdem zeigen wir unter der Annahme der Invertierbarkeit der Basis das Oseledets Splitting. Anschließend wenden wir dieses Theorem auf die stochastischen linearen Verzögerungsgleichungen an und zeigen, dass die linearen Verzögerungsgleichungen ein Lyapunov-Spektrum besitzen. Dieses Ergebnis ist bemerkenswert, denn es liefert eine umfassende Erklärung für die Stabilität und das chaotische Verhalten der stochastischen Verzögerungsgleichung. Das Vorhandensein von invarianten Mannigfaltigkeiten ist eine Anwendung des MET. Mithilfe des MET beweisen wir dieses Theorem für nichtlineare Kozykeln, die auf messbaren Feldern von Banach-Räumen wirken. Insbesondere beweisen wir lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeit für nichtlineare, singuläre stochastische Verzögerungsgleichungen um die stationären Punkte. Diese Monografie enthält auch ein eigenständiges Kapitel über das Konzept der metrischen Entropie für die stochastischen Flüsse, die in endlich vielen Richtungen invariant sind. Nach der Definition der Entropie für diese Klasse von Flüssen, beweisen wir die Ruelle'sche Ungleichung entsprechend. Diese Ungleichung besagt dass, die metrische Entropie durch die Summe der positiven Lyapunov-Exponenten begrenzt ist.