The Random Conductance Model: local times large deviations, law of large numbers and effective conductance
Salvi, Michele
Reversible Irrfahrten in zufälliger Umgebung (random walks in random environment, RWRE) werden Irrfahrten unter zufälligen Leitfähigkeiten (random walks among random conductances, RWRC) genannt und treten in vielen Teilbereichen der Wissenschaft als natürliche Modelle fuer physikalische Phänomene auf. In dieser Arbeit fuehren wir zuerst RWRC ein und heben dabei die Verbindungen zu elektronischen Netzwerken hervor. Gleichzeitig geben wir eine Übersicht über die existierende Literatur. Danach stellen wir unsere Ergebnisse vor. Zuerst geben wir einen Beweis fuer ein annealed Prinzip der großen Abweichungen (Large Deviation Principle, LDP) fuer die Lokalzeiten einer RWRC, die sich innerhalb einer Region mit festem Durchmesser befindet. Wir geben eine explizite Darstellung der Ratenfunktion an und erhalten durch das LDP asymptotische Formeln fuer die Wahrscheinlichkeiten der RWRC in der gegebenen Region zu bleiben. Dieses Ergebnis findet wichtige Anwendungen bei der Betrachtung von zufälligen Schrödinger-Operatoren und des parabolischen Anderson-Modells (Parabolic Anderson Model, PAM). Das zweite Resultat behandelt das Gesetz der grossen Zahlen fuer den Endpunkt eines RWRC. Wir zeigen, dass die asymptotische Geschwindigkeit fast sicher gleich Null ist, sobald die α-log Momente der Leitfähigkeiten fuer ein α > 1 endlich sind. Auf der anderen Seite implizieren endliche log Momente nicht Null-Geschwindigkeit: Wir geben ad hoc Gegenbeispiele mit Hilfe von geometrischen Konstruktionen zufälliger Bäume. Schließlich analysieren wir die Fluktuationen vom Minimum der Dirichlet Energie im zufaelligen Leitfähigkeits Modell. Diese Quantität, bekannt als effektive Leitfähigkeit (effective conductance), repräsentiert den totalen elektrischen Strom, der in einem elektrischen Netzwerk fließt, und spielt eine zentrale Rolle in der Homogenisierungstheorie. Wir beweisen einen zentralen Grenzwertsatz unter den Annahmen von Dirichlet-Randbedingungen und zufällige Leitfähigkeiten mit kleinem elliptischen Kontrast.
Reversible random walks in random environment are called random walks among random conductances (RWRC) and they naturally arise in many branches of science as models for physical phenomena. In this thesis we first introduce RWRC, highlighting the connections with electrical networks, and give a substantial background on previous literature. Then, we present a series of original results. The first one is the proof of an annealed large deviation principle (LDP) for the local times of a RWRC forced to stay in a finite domain. We give an explicit expression for the rate function and obtain as a byproduct of the LDP asymptotic formulas for the non-exit probabilities from the given domain. This result has relevant applications in the parabolic Anderson model and in the study of random Schroedinger operators. The second result deals with the law of large numbers for the endpoint of a RWRC. We show that whenever the α-log moments of the conductances are finite for some α > 1, the limiting speed is zero almost surely. On the other hand, finite log moments for α < 1 do not imply zero speed: we construct ad hoc counterexamples based on geometrical constructions of random trees. Finally we analyze the fluctuations of the minimum of the Dirichlet energy in the random conductance model. This quantity, known as effective conductance, describes the total electric current flowing through an electric network and has a central role in homogenization theory. We establish a central limit theorem for the effective conductance under the assumptions of Dirichlet boundary conditions and conductances with small ellipticity contrast.
