# Rough paths, probability and related topics

## Shekhar, Atul

In the first part, we prove a deterministic Doob-Meyer type result for rough paths. In the probabilistic setting, the Doob-Meyer theorem says that the martingale part and bounded variation part are uniquely determined given the semimartingale. The intuition behind is that the martingales are nothing but time changed Brownian motion. It is thus very irregular at every small time scales and it not possible to have cancellations with bounded variation part. We coin the concept of true-roughness for deterministic curves, which mimics the above intuition, and prove an analogue of Doob- Meyer theorem. We then verify that various finite and infinite dimensional processes are truly-rough. We close the article by providing an application to existence of density for non-Markovian systems under Hörmander condition. In the second part, we develop rough path theory for càdlàg paths. We define càdlàg rough path and prove a variant of Lyons' extension theorem, giving the meaning to the signature of càdlàg rough paths. We make sense of rough integration of controlled rough paths against càdlàg rough paths. We then prove that Lèvy processes and jump diffusions can be lifted to a rough paths and stochastic integration can be understood via rough integration in a pathwise manner. The solutions to Lèvy driven SDEs can be now seen as solution to corresponding rough differential equation (RDE). We also introduce an analogue of Marcus type SDEs and prove that signature of rough path is solution to one such Marcus RDE. This allows us to compute the expected value of signature of Lèvy process, giving us a Lèvy-Kintchine formula for rough paths. In the third and fourth part, we give some progress in understanding the trace of Loewner chains. Firstly, we prove that the Loewner chains driven by semimartingales produce a trace under some conditions. Examples include diffusion processes of form F(t ,B_t), where B is standard Brownian motion. Our method allows us to prove that the trace is 1/ 2-Hölder and a bounded variation path if the Loewner driver is a Cameron-Martin path. Stability under approximation type results follow as a corollary. Secondly, we explore towards the exact deterministic properties of Loewner driver responsible for the trace. We relate the slow times of the driver to the existence of trace. We prove, under some conditions, the trace exists if all the times are slow times for the driver.
In dem ersten Artikel beweisen wir eine deterministische Doob-Meyer Zerlegung für rough paths. In stochastischen Fall besagt das Doob-Meyer Theorem, dass gegeben ein Semimartingal der Martingalteil und der Teil von beschränkter Variation eindeutig bestimmt sind. Die Intuition dahinter ist, dass Martingale nichts anderes sind als zeit-transformierte Brownische Bewegungen. Deshalb ist sie sehr unregulär zu jeder kleinen Zeitskala und es ist nicht möglich, dass sie sich mit dem Teil von beschränkter Variation nivelliert. Wir prägen das Konzept von “true-roughness" für deterministische Kurven, was die oben angesprochene Intuition imitiert, und beweisen das Analogon zum Doob-Meyer Theorem. Wir verifizieren, dass diverse endlich und unendlich dimensionale Prozesse truly-rough sind. Wir schließen den Artikel, indem wir eine Anwendung für die Existenz einer Dichte von nichtMarkov’schen Systemen unter Hörmander Bedingung geben. Im zweiten Artikel entwickeln wir rough path Theorie für càdlàg Pfade. Wir definieren càdlàg rough path und beweisen eine Variante von Lyons’ Erweiterungstheorem, welches der Signatur von càdlàg rough path eine Bedeutung gibt. Wir geben der rough Integration von kontrollierten rough path gegen càdlàg rough path einen Sinn. Wir beweisen, dass Lèvy Prozesse und Sprungdiffusionen auf einen rough path gelifted werden können und dass stochastische Integration als pfadweise rough Integration verstanden werden kann. Lösungen von Lèvy getriebenen SDGen können als Lösungen von entsprechenden rough Differentialgleichungen (RDGen) gesehen werden. Außerdem führen wir ein Analogon von Marcus SDGen ein und beweisen, dass die Signatur von rough path eine Lösung solcher Marcus RDGen ist. Das erlaubt uns den Erwartungswert der Signatur von Lèvy Prozessen zu berechnen, wodurch wir eine Lèvy-Kintchine Formel für rough paths erhalten. In dem dritten und vierten Artikel beschreiben wir den Fortschritt im Verständnis der Spur von Loewner Ketten. Wir beweisen, dass Loewner Ketten getrieben von Semimartingalen unter gewissen Bedingung eine Spur produzieren. Beispiele dafür sind Diffusionsprozesse der Form F(t, B_t), wobei B eine Standard Brownsche Bewegung ist. Unsere Methode erlaubt es zu zeigen, dass die Spur 1/ 2 -Hölder stetig ist und von beschränkter Variation falls der Loewner Treiber ein Cameron-Martin Pfad ist. Stabilität als Approximation Ergebnis folgt als Korollar. Weiterhin ergründen wir die genauen deterministischen Eigenschaften des Loewner Treibers, welche für die Spur verantwortlich sind. Wir bringen die Langsamzeit des Treibers mit der Existenz der Spur in Verbindung. Wir beweisen unter gewissen Bedingungen, dass die Spur existiert, falls alle Zeiten Langsamzeiten des Treibers sind.