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Rough paths, probability and related topics
Rough paths, probability and related topics
Shekhar, Atul
Inst. Mathematik
In the first part, we prove a deterministic Doob-Meyer type result for
rough paths. In the probabilistic setting, the Doob-Meyer theorem says that
the martingale part and bounded variation part are uniquely determined
given the semimartingale. The intuition behind is that the martingales are
nothing but time changed Brownian motion. It is thus very irregular at every
small time scales and it not possible to have cancellations with bounded
variation part. We coin the concept of true-roughness for deterministic
curves, which mimics the above intuition, and prove an analogue of Doob-
Meyer theorem. We then verify that various finite and infinite dimensional
processes are truly-rough. We close the article by providing an application to
existence of density for non-Markovian systems under Hörmander condition.
In the second part, we develop rough path theory for càdlàg paths. We
define càdlàg rough path and prove a variant of Lyons' extension theorem,
giving the meaning to the signature of càdlàg rough paths. We make sense
of rough integration of controlled rough paths against càdlàg rough paths.
We then prove that Lèvy processes and jump diffusions can be lifted to a
rough paths and stochastic integration can be understood via rough integration
in a pathwise manner. The solutions to Lèvy driven SDEs can be
now seen as solution to corresponding rough differential equation (RDE). We
also introduce an analogue of Marcus type SDEs and prove that signature of
rough path is solution to one such Marcus RDE. This allows us to compute
the expected value of signature of Lèvy process, giving us a Lèvy-Kintchine
formula for rough paths.
In the third and fourth part, we give some progress in understanding
the trace of Loewner chains. Firstly, we prove that the Loewner chains
driven by semimartingales produce a trace under some conditions. Examples
include diffusion processes of form F(t ,B_t), where B is standard Brownian
motion. Our method allows us to prove that the trace is 1/
2-Hölder and a
bounded variation path if the Loewner driver is a Cameron-Martin path.
Stability under approximation type results follow as a corollary.
Secondly, we explore towards the exact deterministic properties of Loewner
driver responsible for the trace. We relate the slow times of the driver to the
existence of trace. We prove, under some conditions, the trace exists if all
the times are slow times for the driver.
In dem ersten Artikel beweisen wir eine deterministische Doob-Meyer
Zerlegung für rough paths. In stochastischen Fall besagt das Doob-Meyer
Theorem, dass gegeben ein Semimartingal der Martingalteil und der Teil von
beschränkter Variation eindeutig bestimmt sind. Die Intuition dahinter ist,
dass Martingale nichts anderes sind als zeit-transformierte Brownische Bewegungen.
Deshalb ist sie sehr unregulär zu jeder kleinen Zeitskala und es
ist nicht möglich, dass sie sich mit dem Teil von beschränkter Variation nivelliert.
Wir prägen das Konzept von “true-roughness" für deterministische
Kurven, was die oben angesprochene Intuition imitiert, und beweisen das
Analogon zum Doob-Meyer Theorem. Wir verifizieren, dass diverse endlich
und unendlich dimensionale Prozesse truly-rough sind. Wir schließen den
Artikel, indem wir eine Anwendung für die Existenz einer Dichte von nichtMarkov’schen
Systemen unter Hörmander Bedingung geben.
Im zweiten Artikel entwickeln wir rough path Theorie für càdlàg Pfade.
Wir definieren càdlàg rough path und beweisen eine Variante von Lyons’
Erweiterungstheorem, welches der Signatur von càdlàg rough path eine Bedeutung
gibt. Wir geben der rough Integration von kontrollierten rough
path gegen càdlàg rough path einen Sinn. Wir beweisen, dass Lèvy Prozesse
und Sprungdiffusionen auf einen rough path gelifted werden können und
dass stochastische Integration als pfadweise rough Integration verstanden
werden kann. Lösungen von Lèvy getriebenen SDGen können als Lösungen
von entsprechenden rough Differentialgleichungen (RDGen) gesehen werden.
Außerdem führen wir ein Analogon von Marcus SDGen ein und beweisen,
dass die Signatur von rough path eine Lösung solcher Marcus RDGen ist.
Das erlaubt uns den Erwartungswert der Signatur von Lèvy Prozessen zu
berechnen, wodurch wir eine Lèvy-Kintchine Formel für rough paths erhalten.
In dem dritten und vierten Artikel beschreiben wir den Fortschritt im
Verständnis der Spur von Loewner Ketten. Wir beweisen, dass Loewner Ketten
getrieben von Semimartingalen unter gewissen Bedingung eine Spur produzieren.
Beispiele dafür sind Diffusionsprozesse der Form F(t, B_t), wobei
B eine Standard Brownsche Bewegung ist. Unsere Methode erlaubt es zu
zeigen, dass die Spur 1/
2
-Hölder stetig ist und von beschränkter Variation falls
der Loewner Treiber ein Cameron-Martin Pfad ist. Stabilität als Approximation
Ergebnis folgt als Korollar.
Weiterhin ergründen wir die genauen deterministischen Eigenschaften des
Loewner Treibers, welche für die Spur verantwortlich sind. Wir bringen die
Langsamzeit des Treibers mit der Existenz der Spur in Verbindung. Wir beweisen
unter gewissen Bedingungen, dass die Spur existiert, falls alle Zeiten
Langsamzeiten des Treibers sind.
