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Energy-based model reduction of transport-dominated phenomena
Schulze, Philipp
Transport-dominated systems are characterized by the propagation of waves and occur in many applications such as aerodynamics and chemical engineering. To predict the dynamics of such systems, mathematical models should ideally be fast to evaluate and at the same time sufficiently accurate. One possibility for deriving such models is to start with a complex and accurate full-order model (FOM) and use model order reduction (MOR) techniques to obtain a corresponding reduced-order model (ROM). Classical MOR methods are based on approximating the FOM state by a linear combination of ansatz functions or modes, but such approaches are often inadequate in the context of transport-dominated systems. This is one of the reasons why there has been an increasing research effort in the past years to develop MOR techniques which are based on nonlinear approximation ansatzes.
As the field of nonlinear MOR is relatively new, there are still many open research questions to be addressed. These include for instance suitable choices for the approximation ansatz as well as appropriate ways for the construction of corresponding ROMs. Furthermore, nonlinear MOR approaches typically lead to ROMs whose evaluation scales with the dimension of the FOM and thus may be too expensive. In fact, similar issues may also occur in the context of linear MOR approaches and, therefore, one uses so-called hyperreduction techniques to obtain fast ROMs. However, classical hyperreduction methods suffer from similar difficulties as classical MOR schemes when being applied to transport-dominated systems. Another challenge is to develop nonlinear MOR techniques which preserve important system properties such as stability.
In this thesis, we present a new nonlinear model reduction framework which is based on approximating the state of the FOM by a linear combination of transformed modes. The transformations may be, e.g., achieved by shift operators and are parametrized by so-called paths or shift amounts, which constitute a part of the ROM state. The resulting class of ansatzes is well-suited for obtaining low-dimensional and accurate approximations of transport-dominated systems. For the determination of the modes, we present an optimization approach based on given snapshot data of the FOM state. Furthermore, the construction of the ROM is carried out via a residual minimization approach and we also suggest a new hyperreduction framework to ensure that the ROM can be efficiently evaluated. In addition, we demonstrate how to preserve stability via an energy-based formulation using the framework of so-called port-Hamiltonian systems. Finally, we illustrate the new methodology by means of numerical experiments for some transport-dominated test cases.
Transportdominierte Systeme sind durch die Ausbreitung von Wellen charakterisiert und kommen in vielen Anwendungen vor, z. B. in der Aerodynamik und Verfahrenstechnik. Um die Dynamik solcher Systeme vorherzusagen, sollten mathematische Modelle schnell auswertbar und dabei hinreichend genau sein. Hierzu kann man z. B. ausgehend von einem sehr genauen Originalmodell (FOM) mit Verfahren der Modellreduktion (MOR) ein reduziertes Modell (ROM) herleiten. Klassische MOR-Methoden basieren auf der Approximation des FOM-Zustandes durch eine Linearkombination von Ansatzfunktionen bzw. Moden. Solche Ansätze sind jedoch bei transportdominierten Systemen oft unzureichend. Unter anderem deshalb wird seit ein paar Jahren vermehrt an MOR-Verfahren geforscht, die auf nichtlinearen Ansätzen basieren.
Da das Gebiet der nichtlinearen Modellreduktion relativ neu ist, gibt es noch viele offene Forschungsfragen. Diese betreffen z. B. eine adäquate Wahl des MOR-Ansatzes sowie geeignete Methoden für die Erstellung von ROMs basierend auf einem konkreten Ansatz. Ferner führen nichtlineare Ansätze häufig zu ROMs, deren Auswertung mit der Dimension des FOMs skaliert und dadurch zu aufwendig sein kann. Ähnliche Probleme können auch bei linearen MOR-Ansätzen auftreten und daher werden sogenannte Hyperreduktionsverfahren verwendet, um effizient auswertbare ROMs zu erhalten. Klassische
Hyperreduktionsmethoden sind jedoch bei der Anwendung auf transportdominierte Systeme von ähnlichen Schwierigkeiten betroffen wie klassische MOR-Verfahren. Eine weitere Herausforderung ist die Entwicklung nichtlinearer MOR-Methoden, welche Eigenschaften wie Stabilität erhalten.
In der vorliegenden Arbeit stellen wir eine nichtlineare MOR-Methode vor, die auf der Approximation des FOM-Zustandes durch eine Linearkombination von transformierten Moden basiert. Die Transformationen können z.B. durch Translationen realisiert werden und sind durch sogenannte Pfade bzw. Translationsstrecken parametrisiert, die einen Teil des ROM-Zustandes bilden. Solche Ansätze sind gut geeignet, um niedrigdimensionale und genaue Approximationen
transportdominierter Systeme zu erhalten. Für die Modenbestimmung stellen wir einen Optimierungsansatz vor, der auf Daten des FOM-Zustandes basiert. Zudem erstellen wir die ROMs durch Residuumsminimierung und gewährleisten eine effiziente Auswertung durch ein neues Hyperreduktionsverfahren. Des Weiteren zeigen wir, wie Stabilität durch eine energiebasierte Formulierung erhalten werden kann, indem wir eine sogenannte port-Hamiltonsche Darstellung verwenden. Schließlich veranschaulichen wir die neue Methodik anhand numerischer Experimente für transportdominierte Anwendungsfälle.
