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Neural field equations are used to model the spatio-temporal dynamics of the activity in a network of synaptically coupled populations of neurons in the continuum limit. They exhibit traveling wave solutions, modeling the propagation of activity.
In this thesis we provide a mathematical framework for the analysis of the influence of noise on these solutions.
The noise influences the dynamics on two scales. First, it causes fluctuations in the wave profile, and second, it causes a random displacement of the wave from its uniformly translating position.
In order to analyze the stability of the wave under noise, we study the linear operator that appears in the equation when linearizing around the traveling wave. We show that this nonlocal operator has a spectral gap by proving a functional inequality, expressing that perturbations in directions that are orthogonal to the direction of movement are damped by the neural field dynamics.
By separating the two spatial scales, we obtain a simplified description of the dynamics. Here we use a dynamic phase adaptation of a reference wave to determine the phase shift caused by the noise.
We prove an expansion of the stochastic traveling wave describing the effects of the noise to different orders of the noise strength. We prove that, to first order, the shift in the phase is roughly diffusive, and the fluctuations in the wave profile are given by an Ornstein-Uhlenbeck process that is orthogonal to the direction of movement.
The neural field model approximates the network behavior in two ways. The local dynamics in each population are summarized in a mean activity, and the large network is approximated by a continuum.
A possible source of noise on this level are deviations from the mean field behavior due to the finite size of the populations, so-called finite-size effects.
By describing the evolution of the activity in a finite network of finite populations by a Markov chain and analyzing the fluctuations of this process, we determine a stochastic correction term to the mean field equation. We derive a well-posed L²-valued stochastic neural field equation with a noise term accounting for finite-size effects on the traveling wave solution, and prove it to be the continuum limit of an associated network of diffusion processes.
Neuronale Feldgleichungen werden benutzt, um die Dynamik der Aktivität in einem Netzwerk synaptisch gekoppelter Populationen von Neuronen in Raum und Zeit zu modellieren. Eine spezielle Art von Lösungen dieser Gleichungen sind wandernde Wellen, welche die Ausbreitung der Aktivität beschreiben. In dieser Dissertation führen wir einen mathematischen Rahmen für die Untersuchung des Einflusses von Rauschen auf diese Art von Lösungen ein.
Das Rauschen beeinflusst die Dynamik auf zwei verschiedenen Skalen. Zum Einen führt es zu Fluktuationen im Profil der Welle. Zum Anderen verursacht es eine Störung der Geschwindigkeit und somit eine Abweichung von der gleichmäßigen Fortbewegung der Welle.
Um die Stabilität der Welle unter Einfluss von Rauschen zu untersuchen, analysieren wir Eigenschaften des linearen Operators, der in der Gleichung auftritt, wenn wir um die Wellenlösung linearisieren. Wir zeigen, dass dieser nichtlokale Operator eine Spektrallücke hat, indem wir eine Funktionalungleichung beweisen. Diese drückt aus, dass Störungen in Richtungen, die orthogonal zur Bewegungsrichtung liegen, durch die Dynamik des Feldes ausgeglichen werden.
Indem wir die zwei räumlichen Skalen trennen, erhalten wir eine vereinfachte Darstellung der Dynamik. Hierbei bestimmen wir durch dynamisches Anpassen der Geschwindigkeit eines Referenzprofils die durch das Rauschen verursachte Phasenverschiebung. Wir leiten eine Entwicklung der stochastischen Welle in einem kleinen Parameter ε, der die Stärke des Rauschens beschreibt, her, an der man den Einfluss der stochastischen Störung zu beliebiger Ordnung in ε ablesen kann. Wir zeigen, dass die Positionsverschiebung der Welle zu erster Ordnung in ε in etwa diffusiv ist und dass die Fluktutationen im Wellenprofil durch einen Ornstein-Uhlenbeck Prozess, der orthogonal zur Bewegungsrichtung ist, beschrieben werden.
Das neuronale Feldmodell stellt in zwei Aspekten nur eine näherungsweise Beschreibung des Verhaltens des Netzwerkes dar. Die lokale Dynamik in den einzelnen Populationen wird zusammengefasst in einer mittleren Aktivität und das diskrete Netzwerk wird durch ein stetiges Feld approximiert.
Eine möglich Quelle von Rauschen auf diesem Level sind Abweichungen vom Mittelwert, verursacht durch die endliche Größe der Populationen.
Indem wir die Evolution der Aktivität in einem endlichen Netzwerk endlicher Populationen durch eine Markovkette beschreiben und deren Fluktuationen analysieren, leiten wir einen stochastischen Korrekturterm her, der die Effekte dieser Abweichungen auf wandernde Wellen beschreibt. Wir erhalten eine wohlgestellte L²-wertige stochastische neuronale Feldgleichung und zeigen, dass diese Kontinuumsgrenzwert eines zugehörigen Netzwerkes von Diffusionsprozessen ist.
