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Analyse und numerische Lösung verallgemeinerter Lyapunov-Gleichungen

Stykel, Tatjana

Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften

Diese Arbeit befaßt sich mit der theoretischen Analyse, numerischen Behandlung und Störungstheorie für verallgemeinerte kontinuierliche und diskrete algebraische Lyapunov-Gleichungen. Die Stabilität von singulären Systemen und dazugehörige Eigenwertprobleme werden auch untersucht. Spektralcharakteristiken werden vorgestellt, die die Lage der endlichen Eigenwerte des Matrixbüschels bezüglich der imaginären Achse und des Einheitskreises charakterisieren. Diese Charakteristiken lassen sich zur Schätzung des asymptotischen Verhaltens der Lösungen von singulären Systemen verwenden. Bei der Lösung von verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen treten einige Schwierigkeiten insbesondere dann auf, wenn eine der Koeffizientenmatrizen singulär ist. In diesem Fall werden verallgemeinerte Lyapunov-Gleichungen mit der speziellen rechten Seite untersucht. Für solche Gleichungen lassen sich die klassischen Stabilitätssätze von Lyapunov nur für Büschel des Indexes höchstens zwei im zeitkontinuierlichen Fall und des Indexes höchstens eins im zeitdiskreten Fall verallgemeinern. Weiterhin werden projizierte verallgemeinerte kontinuierliche und diskrete Lyapunov-Gleichungen betrachtet, die durch gewisse Projektion der rechten Seite und der Lösung auf die rechten und linken invarianten Unterräume zu den endlichen Eigenwerten des Matrixbüschels entstehen. Für diese Gleichungen werden notwendige und hinreichende Bedingungen der eindeutigen Lösbarkeit vorgestellt, die vom Index des Matrixbüschels unabhängig sind. Es wird gezeigt, dass die projizierten Lyapunov-Gleichungen verwendet werden können um die asymptotische Stabilität der singulären Systeme sowie Steuerbarkeits- und Beobachtbarkeitseigenschaften der Deskriptorsysteme zu charakterisieren. Außerdem sind diese Gleichungen nützlich, die Trägheitssätze für Matrizen auf Matrixbüschel zu erweitern. Schließlich wird gezeigt, dass die Gramschen Matrizen der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit für Deskriptorsysteme als die Lösungen der projizierten Lyapunov-Gleichungen bestimmt werden können. Die numerische Lösung von verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen wird betrachtet. Die Erweiterungen des Bartels-Stewart-Verfahrens und des Hammarling-Verfahrens auf projizierte Lyapunov-Gleichungen werden vorgestellt. Diese Verfahren basieren auf die Berechnung der GUPTRI-Form des Matrixbüschels. Die Störungstheorie für verallgemeinerte Lyapunov-Gleichungen wird entwickelt. Es werden die auf Spektralnorm basierenden Konditionszahlen für projizierte verallgemeinerte Lyapunov-Gleichungen eingeführt, die zu Störungsabschätzungen der Lösungen dieser Gleichungen verwendet werden können. Darüber hinaus wird gezeigt, dass diese Konditionszahlen mit den erwähnten Spektralcharakteristiken für die asymptotische Stabilität von singulären Systemen übereinstimmen und sich durch die Lösung von projizierten Lyapunov-Gleichungen mit der Einheitsmatrix in der rechten Seite effizient berechnen lassen. Die Anwendung der projizierten verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen in der Modellreduktion von Deskriptorsystemen wird ebenso betrachtet. Für Deskriptorsysteme werden die Hankel-Singulärwerte eingeführt und Verallgemeinerungen der Balanced Truncation Verfahren dargestellt.