Discrete Transparent Boundary Conditions for Systems of Evolution Equations

Zisowsky, Andrea

Discrete Transparent Boundary Conditions for Systems of Evolution Equations

dc.contributor.advisor	Arnold, Anton	en
dc.contributor.author	Zisowsky, Andrea	en
dc.contributor.grantor	Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften	en
dc.date.accepted	2003-07-14
dc.date.accessioned	2015-11-20T15:25:46Z
dc.date.available	2004-01-22T12:00:00Z
dc.date.issued	2004-01-22
dc.date.submitted	2004-01-22
dc.description.abstract	Die vorliegende Doktorarbeit befasst sich mit der Herleitung und Implementierung von diskreten transparenten Randbedingungen für Systeme von Evolutionsgleichungen. Transparente Randbedingungen (TRBen) sind spezielle künstliche Randbedingungen, durch die die Lösung der Gleichung auf beschränktem und mit TRBen versehenem Gebiet mit der exakten Lösung des Ganzraumproblems (auf diesem beschränkten Gebiet) übereinstimmt. Die Differentialgleichungen werden durch ein Finite-Differenzen-Verfahren (theta-Schema) diskretisiert. Für die entstandene diskrete Gleichung werden diskrete transparente Randbedingungen (DTRBen) hergeleitet, wodurch die DTRBen besonders gut an das numerische Verfahren angepasst sind. Für skalare Gleichungen sind diese DTRBen bereits länger bekannt und man weiß, dass im Gegensatz zur ad-hoc Diskretisierung der analytischen TRBen Stabilitätsprobleme und künstliche Reflektionen am Rand vermieden werden können. Wir werden uns hier mit Systemen von Differentialgleichungen (parabolisch und Schrödinger Typ) befassen. Für diese Systeme ist der Ansatz der DTRBen gänzlich neu und wirft zusätzliche Probleme auf, die für skalare Gleichungen nicht auftreten. Nachdem wir uns eingehend mit den TRBen und DTRBen für schwach gekoppelte Systeme von parabolischen Differentialgleichungen beschäftigt haben, die das Verhalten von fluiden stochastischen Petri-Netzen beschreiben, verallgemeinern wir unser Vorgehen auf ein beliebiges lineares parabolisches System. Im Anschluss daran betrachten wir ein System von Schrödinger-Gleichungen, wie es z.B. in der Halbleiterphysik als sogenannte k·p-Schrödinger Gleichung der Quantenmechanik auftritt. Die angeführten numerischen Beispiele zeigen, dass sowohl für parabolische als auch für Systeme von Schrödinger Gleichungen die DTRBen nur sehr kleine Fehler verursachen.	de
dc.description.abstract	This dissertation is concerned with the derivation and implementation of discrete transparent boundary conditions for systems of evolution equations. Transparent boundary conditions (TBCs) are a special kind of artificial boundary conditions, that are constructed in such a way, that the solution on a bounded domain with TBCs is equal to the solution of the whole-space problem restricted to the bounded (computational) domain. The partial differential equations are discretised by finite differences (theta-scheme) and discrete transparent boundary conditions (DTBCs) are constructed for the discrete equation. Therefore, the DTBCs are well adapted to the numerical scheme. For scalar equations these DTBCs are well established. Compared to discretising the analytical TBC, in the scalar case it is known that these DTBCs have the advantage, not to destroy the stability properties of the underlying discrete scheme and to avoid any numerical reflections. In this dissertation we will deal with systems of partial differ ential equations (parabolic and Schrödinger type). For these systems the approach of DTBCs is completely new and involves additional problems not encountered in the scalar case. Since the numerical computation of these DTBCs is very costly, we give an approximation which greatly reduces the effort. After a concise construction of the TBCs and DTBCs for the weakly coupled system of parabolic equations arising from the mathematical description of fluid stochastic Petri nets, we proceed to extend the results to a system of general parabolic equations. Finally we will consider DTBCs for a system of Schrödinger-type equations, which arise e.g. in the physics of layered semiconductor devices as the so called k·p-Schrödinger equation of quantum mechanics. For both kinds of systems we will give numerical examples, which show the very small error caused by the DTBC.	en
dc.identifier.uri	urn:nbn:de:kobv:83-opus-5897
dc.identifier.uri	https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/985
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-688
dc.language	English	en
dc.language.iso	en	en
dc.rights.uri	http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/	en
dc.subject.ddc	510 Mathematik	en
dc.subject.other	Diskrete transparente Randbedingungen	de
dc.subject.other	Künstliche Ränder	de
dc.subject.other	Parabolische Sys	de
dc.subject.other	Petri-Netze	de
dc.subject.other	Systeme von Schrödingergleichungen	de
dc.subject.other	Unbeschränktes Gebiet	de
dc.subject.other	Artificial boundary	en
dc.subject.other	Discrete transparent boundary conditions	en
dc.subject.other	Parabolic systems	en
dc.subject.other	Petri nets	en
dc.subject.other	Systems of Schrödinger equations	en
dc.subject.other	Unbounded domain	en
dc.title	Discrete Transparent Boundary Conditions for Systems of Evolution Equations	en
dc.title.translated	Diskrete transparente Randbedingungen für Evolutionsgleichungen	de
dc.type	Doctoral Thesis	en
dc.type.version	publishedVersion	en
tub.accessrights.dnb	free	*
tub.affiliation	Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften	de
tub.affiliation.faculty	Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften	de
tub.identifier.opus3	589
tub.identifier.opus4	595
tub.publisher.universityorinstitution	Technische Universität Berlin	en

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