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Complex spatio-temporal patterns in networks: bifurcations, impact of topology and noise

Schülen, Leonhard Valentin

Inst. Theoretische Physik

The two topics of this thesis are partial synchronization patterns in networks of FitzHugh-Nagumo oscillators and the investigation of two examples of the constructive role of noise in networks of coupled elements. Collective phenomena like synchronization - both partial and complete - are ubiquitous in nature and man-made systems. The synchronous flashing of fire-flies and the coherent firing of neurons in epileptic seizures are examples for this intriguing aspect of self-organization. Synchronization refers to the alignment of periods of at least two oscillators. It is an emergent phenomenon, in the sense that it does not need external forcing to occur. All models of physics are idealizations to some extent. No system ever comes in isolation, it is always interacting with its environment. Therefore, random external perturbations - known as noise - are always present. This is often unwanted, as it makes prediction and control harder to achieve. But in some cases it plays a constructive role. One example is coherence resonance in excitable systems, where an optimal amount of noise leads to a highly coherent oscillatory response. Another is multiplexing noise, where the random modulation of interaction strengths leads to a higher degree of synchrony. The first part of this thesis deals with bifurcations of cluster, solitary and chimera states in networks of coupled FitzHugh-Nagumo oscillators. Starting from a simple setup of a globally coupled ensemble, we reduce the emerging highly unbalanced 2-cluster states to a system with just two oscillators with unidirectional coupling, by applying the thermodynamic limit. This reduction allows us to numerically calculate the underlying bifurcations of such states. They emerge sub-critically in fold bifurcations. For the right choice of the coupling parameters, a period-doubling cascade leads to chaotic behavior. We demonstrate that this result holds for finite size systems as well. Interesting coexistence patterns emerge for 3- and higher-cluster states. The period-doublings subsequently break up all cluster structures until a chimera state emerges. We show that these are typically chaotic attractors. For a fixed set of parameters, many such attractors with different Lyapunov dimensions may coexist. We go on to demonstrate that these states exist in networks with nontrivial topology, multi-layer networks and networks with delayed coupling as well. The second topic of the thesis is dedicated to phenomena with noise. We investigate coherence resonance in both locally and globally coupled ensembles of excitable FitzHugh-Nagumo elements. We find suitable mean-field systems for both cases and evaluate how accurately they capture the spiking statistics of the full systems. We find good agreement whenever the system undergoes coherence resonance. Noise is known to enhance synchronization in some circumstances. Building on this result, we investigate the role of noisy couplings in multiplex networks. We find that this may indeed enhance the synchronization of patterns. This provides a novel control technique to improve synchronization.
Die beiden Themen dieser Arbeit sind partielle Synchronisationsmuster in Netzwerken gekoppelter FitzHugh-Nagumo Oszillatoren und die konstruktive Rolle von Rauschen in gekoppelten Elementen. Kollektive Phänomene wie Synchronisation sind in natürlichen und technischen Systemen allgegenwärtig. Das synchrone Blinken von Glühwürmchen und das kohärente Feuern von Neuronen während epileptischer Anfälle sind Beispiele für diesen faszinierenden Aspekt der Selbstorganisation. Synchronisation ist die Angleichung der Perioden von mindestens zwei Oszillatoren. Sie ist ein emergentes Phänomen, muss also nicht durch äuûeres Zutun erzwungen werden. Alle Modelle der Physik sind bis zu einem gewissen Grad Idealisierungen. Kein System ist jemals isoliert, sondern immer in Wechselwirkung mit seiner Umgebung. Daher ist eine zufällige externen Störung immer vorhanden, die als Rauschen bezeichnet wird. Diese ist oft unerwünscht, weil es sowohl Vorhersagen, als auch Kontrollen erschwert. In einigen Fällen spielt es jedoch eine konstruktive Rolle. Ein Beispiel ist die Kohärenzresonanz in erregbaren Systemen, bei der ein optimaler Rauschwert zu einer hochgradig kohärenten Schwingungsantwort führt. Ein weiteres Beispiel ist Kopplungsrauschen, bei dem eine zufällige Modulation derWechselwirkungsstärken zu höherer Synchronizität führt. Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit Bifurkationen von Cluster-, Solitär- und Chimären-Zuständen in Netzwerken von gekoppelten FitzHugh-Nagumo Oszillatoren. Ausgehend von einem global gekoppelten Ensemble reduzieren wir die dort auftretenden hochgradig unausgewogenen 2-Cluster-Zustände durch Anwendung des thermodynamischen Limes auf ein System mit nur zwei Oszillatoren mit unidirektionaler Kopplung. Diese Reduktion ermöglicht es uns, die zugrundeliegenden Bifurkationen solcher Zustände numerisch zu berechnen. Sie treten subkritisch in Sattel-Knoten-Verzweigungen auf. Bei der richtigen Wahl der Kopplungsparameter führt eine Periodenverdopplungskaskade zu chaotischen 2-Cluster-Zuständen. Wir zeigen, dass dieses Ergebnis auch für Systeme von endlicher Gröûe gilt. Für Zustände mit drei oder mehr Clustern ergeben sich interessante Koexistenzmuster. Die Periodenverdopplungen brechen nach und nach alle Clusterstrukturen auf, bis ein Chimärenzustand entsteht, die üblicherweise chaotische Attraktoren darstellen. Für gegebe Parameter können viele solcher Attraktoren mit unterschiedlichen Lyapunov-Dimensionen koexistieren. Wir zeigen auûerdem, dass diese Zustände auch in Netzwerken mit nichttrivialer Topologie, mehrschichtigen Netzwerken und Netzwerken mit retardierter Kopplung existieren. Das zweite Thema der Arbeit sind rauschinduzierte Prozesse. Wir untersuchen Kohärenzresonanz in sowohl lokal als auch global gekoppelten Ensembles anregbarer FitzHugh-Nagumo Elemente. Wir finden für beide Fälle geeignete Mean-Field Gleichungen und untersuchen, wie erfolgreich sie die Spiking-Statistiken der Gesamtsysteme erfassen. Wir finden eine gute Übereinstimmung, wenn das System Kohärenzresonanz zeigt. Rauschen kann unter gewissen Umständen die Synchronisation von Oszillatoren erleichtern. Aufbauend auf dieser Erkenntnis untersuchen wir die Rolle von Kopplungsrauschen in Multiplex Netzwerken. Wir stellen fest, dass dieses tatsächlich die Synchronisation von Mustern verbessern kann. Dies stellt eine neuartige Steuerungstechnik zur Verbesserung der Synchronisation dar.