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Convergence of Binomial Large Investor Models and General Correlated Random Walks
Gruber, Urs M.
Die vorliegende Arbeit betrachtet das Problem der Optionsbewertung durch Replikation für einen Großinvestor, der den Aktienpreis durch sein Handeln beeinflußt. Diese Frage wird zuerst in einem binomialen Rahmen formuliert und gelöst. Im Anschluß untersuchen wir eine geeignet skalierte Folge von solchen binomialen Großinvestormodellen und beweisen ihre Konvergenz gegen ein zeitstetiges Diffusionsmodell. Dazu müssen wir sowohl die Konvergenz der Strategiefunktionen des Großinvestors als auch den stochastischen Prozeß, der die zugrundeliegenden Fundamentaldaten modelliert, sorgfältig beschreiben. Die Konvergenz der Modelle erhalten wir aus einem neuen Konvergenzresultat für allgemeine korrelierte Irrfahrten. Für jeden einzelnen Zeitpunkt modellieren wir den Aktienpreis als eine Funktion von Zeit, gewissen Fundamentaldaten und dem Aktienbesitz des Großinvestors, und wir beschreiben die Fundamentaldaten durch eine binäre Irrfahrt. Wir untersuchen detailliert den Preismechanismus, der den Einfluß des Großinvestors auf den Aktienkurs modelliert, und arbeiten die Bedeutung eines "fairen" Preissystems als theoretischer Benchmark heraus. Dieser kann dann benutzt werden, um implizite Transaktionsverluste und den Realwert eines Großinvestorportefeuilles zu definieren. Wir entwickeln Bedingungen, die Papierwert- und Realwert-Arbitrage ausschließen, und beweisen die Existenz und Eindeutigkeit von Replikationsstrategien für ein gegebenes Endportefeuille. Wegen ihrer rückkoppelnden Wirkung auf den Aktienpreis ist diese Strategie im allgemeinen nur implizit durch einen Fixpunktsatz gegeben. Um die Konvergenz einer Folge von binomialen Großinvestormodellen zu betrachten, reskalieren wir den Prozeß der Fundamentaldaten wie im Satz von Donsker. Zunächst zeigen wir dann, daß die Konvergenz der Strategiefunktionen des Großinvestors aus ihrer Konvergenz am Fälligkeitstermin folgt. Die Grenzfunktion ergibt sich als Lösung eines nicht-linearen Endwertproblems, welches durch eine geeignete Strategietransformation auf eine Störung eines linearen Problems in einem "fairen" Markt reduziert werden kann. Im Anschluß beweisen wir die Verteilungskonvergenz der binomialen Großinvestorenmodelle unter zwei verschiedenen Regimen von Martingalmaßen. Weil die Übergangswahrscheinlichkeiten für den Fundamentaldatenprozeß unter diesen Maßen in der Regel vom Aktienbestand des Großinvestors vor und nach seiner Transaktion abhängen, müssen wir dazu klassische Konvergenzresultate auf allgemeine korrelierte Irrfahrten erweitern. Für allgemeine korrelierte Irrfahrten hängt die Richtung des nächsten Schrittes von Zeit, momentaner Position und der Richtung des letzten Schrittes ab. Wenn eine Folge solcher Irrfahrten wie bei Donsker skaliert wird, zeigen wir, daß sie in Verteilung gegen einen Diffusionsprozeß konvergiert, dessen Diffusionskoeffizienten wir explizit beschreiben. Dabei stellt sich heraus, daß im Vergleich zum klassischen Fall sowohl Volatilität als auch Drift durch die Korrelation zwischen den Zuwächsen der Irrfahrten verstärkt werden. Insbesondere erhalten wir ein Konvergenzresultat für bestehende Großinvestormodelle aus der Literatur. Darüber hinaus unterstreicht unsere Arbeit die Bedeutung und den Einfluß, den die Wahl des Preismechanismus hat.
This thesis studies the problem of option pricing via replication by a large investor whose trading affects the stock price. We formulate and solve this question first in a binomial setting. Then we consider a suitably scaled sequence of such binomial large investor models and prove their convergence towards a continuous-time diffusion. This requires that we analyze carefully both the convergence of the large investor's strategy functions and the stochastic process of the underlying fundamentals. The convergence of the latter is derived from a new convergence result for general correlated random walks. In each single time step, we model the stock price as a function of time, some fundamentals and the large investor's stock holdings, and we assume that the fundamentals describe a random walk. We analyze in detail the price mechanism which models how the large investor's trades affect prices and elaborate on the importance of a "fair" price system as a theoretical benchmark. This can be used to define implicit transaction losses and the real value of a large investor's portfolio. We derive conditions which prevent paper-value and real-value arbitrage opportunities for the large investor and show the existence and uniqueness of a replication strategy for a given contingent claim. As a consequence of its feedback on the stock price, this strategy is in general only given implicitly by a fixed point theorem. To study the convergence of a sequence of binomial large investor models, we rescale the fundamentals as in Donsker's theorem. In a first step, we then show that the convergence of the large investor's strategy functions is implied by their convergence at maturity. The limit function is identified as the solution of a non-linear final value problem. By a suitable strategy transform, this can be simplified to a perturbation of a linear problem in a "fair" market. We then prove the convergence in distribution of the binomial large investor models under two different regimes of martingale measures. Because the transition probabilities for the fundamentals under these measures typically depend on the large investor's stock holdings before and after his trade, we have to extend classical convergence results to a setting with general correlated random walks. For general correlated random walks, the direction of the next move depends on time, the current position and the direction of the previous move. Using Donsker's scaling, we prove the convergence in distribution of a sequence of such walks towards a diffusion limit, and we explicitly identify the diffusion coefficients. It turns out that in comparison to the classical case, both volatility and drift are reinforced due to the correlation between the increments of the discrete walks. In particular, we obtain a convergence result for existing large investor models from the literature. Moreover, our study highlights the importance and influence of the choice of price mechanism.
