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Hopf algebras and non-associative algebras in the study of iterated-integral signatures and rough paths

Preiß, Rosa Lili Dora

AG Stochastik und Finanzmathematik

Over the course of three different collaborative projects, we gather evidence of how Hopf, Lie and pre-Lie, Zinbiel and dendriform, as well as Tortkara algebras appear in and influence the systematic combinatorial treatment of iterated-integral signatures of paths and rough paths. First, we investigate how Lie and pre-Lie structures of Lie polynomials and trees give rise to Hopf algebra homomorphisms which one can use to translate the higher orders of rough paths, and thus in a sense renormalize them. We obtain an interplay at the level of the rough differential equations (RDEs) driven by the translated rough path vs the original rough path, and furthermore explore how this translation-renormalization is in bijection with a renormalization group of a corresponding regularity structure. Secondly, we answer a question by Bernd Sturmfels of how the signature of a path under a polynomial map p(X) can be retrieved from the signature of the original path X. After we discussed this with elementary means, we explain how this can be seen as a corollary of a much more general statement on homomorphisms on the halfshuffle Zinbiel algebra vs the iterated-integral signature, which can be seen as being immediately equivalent to the classic halfshuffle relation of the signature. Finally, we study how the signed area enclosed by a two-dimensional path and the connection line between starting point and end point corresponds to an algebraic anticommutative area operation satisfying the Tortkara identity. We revisit the work of Rocha on coordinates of the first kind which led him to introduce such an area operation for the first time, work which can be formulated in terms of a dendriform algebra and the pre-Lie, symmetrized pre-Lie, Lie and associative operations it canonically induces. With our main result in this project being the fact that the whole shuffle algebra can be expressed in terms of shuffle polynomials of area polynomials, which answers a conjecture by Lyons that the knowledge of all areas of areas suffices to compute any arbitrary signature component, we furthermore obtain applications in terms of piecewise linear paths, where areas of areas correspond to those signature components that are guaranteed to be piecewise linear again, and in terms of stochastic analysis, where we introduce martingaloids, rough paths whose expected signature vanishes on the areas of areas, as a generalization of continuous martingales and piecewise linear interpolations of time-discrete martingales with finite expected signature.
In der Gesamtschau von drei verschiedenen gemeinschaftlichen Projekten sammeln wir Erkenntnisse wie Hopf, Lie und pre-Lie, Zinbiel und dendriform, sowie Tortkara Algebren in der systematischen kombinatorischen Betrachtung von iterierten Integral Signaturen (engl. iterated-integral signatures) und rauen Pfaden (engl. rough paths) auftreten und diese weiterentwickeln. Erstens untersuchen wir wie Lie und pre-Lie Strukturen von Lie Polynomen und Bäumen Hopf Algebren Homomorphismen erzeugen die dazu verwendet werden können die höheren Einträge von rauen Pfaden zu verschieben und dadurch auf eine Art zu renormieren. Wir beschreiben ein Zusammenspiel auf der Ebene von rauen Differentialgleichungen (engl. rough differential equations, RDEs) angetrieben von dem verschoben rauen Pfad vs dem ursprünglichen rauen Pfad, und betrachten ferner eine Bijektion zwischen diesen Verschiebungen-Renormierungen und einer Renormierungsgruppe einer zugehörigen Regularitätsstruktur (engl. regularity structure). Zweitens beantworten wir eine Frage von Bernd Sturmfels dazu wie sich die Signatur eines Pfades p(X) aus der Signatur des ursprünglichen Pfades X berechnen lässt. Nachdem wir dies mit elementaren Methoden diskutiert haben, erklären wir wie es sich auch als Korollar eines viel allgemeineren Theorems zu Homomorphismen der halfshuffle Zinbiel Algebra vs der iterierten Integral Signatur auffassen lässt, welches unmittelbar equivalent ist zu einer klassischen halfshuffle Beziehung der Signatur. Als letztes untersuchen wir wie die vorzeichenbehaftete Fläche (engl. signed area) eines zweidimensionalen Pfades und der Verbindungslinie zwischen Startpunkt und Endpunkt einer algebraischen antikommutativen area Operation entspricht die die Tortkara Identität erfüllt. Wir behandeln erneut die Arbeiten von Rocha zu Koordinaten der ersten Art (engl. coordinates of the first kind), die ihn veranlasst haben, eine solche area Operation zum ersten Mal einzuführen, eine Theorie die man mittels einer dendriform Algebra und ihrer kanonischen pre-Lie, symmetrisierten pre-Lie, Lie und assoziativen Operationen beschreiben kann. Während unser Hauptresultat dieses Projektes aus der Aussage besteht, dass die ganze shuffle Algebra von shuffle Polynomen von area Polynomen linear erzeugt wird, eine Erkenntnis die eine Vermutung von Lyons positiv beantwortet, dass die Kenntnis aller areas of areas ausreicht um die Signatur eines Pfades zu berechnen, erhalten wir zusätzlich Anwendungen im Bereich stückweise linearer Pfade, wobei areas of areas denjenigen Signatur Komponenten entsprechen, die garantiert wieder stückweise linear sind, und im Bereich der stochastischen Analysis, wo wir Martingaloide (engl. martingaloids), raue Pfade deren erwartete Signatur (engl. expected signature) auf den areas of areas verschwindet, als Verallgemeinerung von kontinuierlichen Martingalen und stückweise linearen Interpolationen von zeitdiskreten Martingalen mit endlicher erwarteter Signatur einführen.