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New nonlinear adjustment approaches for applications in geodesy and related fields
Malissiovas, Georgios
This dissertation deals with a class of nonlinear adjustment problems that has a direct least squares solution for certain weighting cases. In the literature of mathematical statistics these problems are expressed in a nonlinear model called Errors-In-Variables (EIV) and their solution became popular as total least squares (TLS). The TLS solution is direct and involves the use of singular value decomposition (SVD), presented in most cases for adjustment problems with equally weighted and uncorrelated measurements. Additionally, several weighted total least squares (WTLS) algorithms have been published in the last years for deriving iterative solutions, when more general weighting cases have to be taken into account and without linearizing the problem in any step of the solution process.
This research provides firstly a well defined mathematical relationship between TLS and direct least squares solutions. As a by-product, a systematic approach for the direct solution of these adjustments is established, using a consistent and complete mathematical formalization. By transforming the problem to the solution of a quadratic or cubic algebraic equation, which is identical with those resulting from TLS, it will be shown that TLS is an algorithmic approach already known to the geodetic community and not a new method.
A second contribution of this work is the clear overview of weighted least squares solutions for the discussed class of problems, i.e. the WTLS solution in the terminology of the statistical community. It will be shown that for certain weighting cases a direct solution still exists, for which two new solution strategies will be proposed. Further, stochastic models with more general weight matrices are examined, including correlations between the measurements or even singular cofactor matrices. New algorithms are developed and presented, that provide iterative weighted least squares solutions without linearizing the original nonlinear problem.
The aim of this work is the popularization of the TLS approach, by presenting a complete framework for obtaining a (weighted) least squares solution for the investigated class of nonlinear adjustment problems. The proposed approaches and the implemented algorithms can be employed for obtaining direct solutions in engineering tasks for which efficiency is important, while iterative solutions can be derived for stochastic models with more general weights.
Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit einer Klasse von nichtlinearen Ausgleichungsproblemen, die eine direkte Lösung nach der Methode der kleinsten Quadrate unter spezifischen Gewichtungsfällen aufweisen. In der Literatur der mathematischen Statistik werden derartige Probleme in einem nichtlinearen Modell namens Errors-In-Variables (EIV) ausgedrückt und deren Lösung wurde als Total Least Squares (TLS) populär. In den meisten Fällen lässt sich für gleich gewichtete und unkorrelierte Messungen eine TLS Lösung direkt durch eine Singulärwertzerlegung (SVD) bestimmen. Darüber hinaus wurden in den letzten Jahren mehrere Weighted Total Least Squares (WTLS) Algorithmen zur Herleitung iterativer Lösungen veröffentlicht, bei denen allgemeinere Gewichtungsfälle berücksichtigt werden können, ohne das Problem in jedem Schritt des Lösungsprozesses zu linearisieren.
Zunächst wird in dieser Arbeit eine klar definierte mathematische Beziehung zwischen TLS und direkter Lösungen nach der Methode der kleinsten Quadrate dargestellt. Des Weiteren wird ein systematischer Ansatz zur direkten Lösung derartiger Ausgleichungsproblemen unter Verwendung einer konsistenten und vollständigen mathematischen Formalisierung entwickelt. Durch die Überführung des Problems in die Lösung einer quadratischen oder kubischen algebraischen Gleichung wird gezeigt, dass TLS ein algorithmischer Ansatz ist, der der geodätischen Gemeinschaft bereits bekannt ist und keine neue Methode darstellt.
Ein weiterer Beitrag dieser Arbeit besteht in einer klaren Übersicht von gewichteten Kleinste-Quadrate Lösungen für die hier diskutierte Klasse von Problemen, wie z.B. der WTLS-Lösung aus der Terminologie der statistischen Gemeinschaft. Es wird gezeigt, dass für bestimmte Gewichtungsfälle noch eine direkte Lösung existiert, wofür zwei neue Lösungsstrategien vorgestellt werden. Weiterhin werden stochastische Modelle mit allgemeineren Gewichtsmatrizen untersucht, einschließlich Korrelationen zwischen den Messungen oder sogar singulären Kofaktor-Matrizen. Es werden neue Algorithmen entwickelt und vorgestellt, die gewichtete Kleinste-Quadrate Lösungen iterativ berechnen, ohne das ursprüngliche nichtlineare Problem zu linearisieren.
Das Ziel dieser Arbeit ist die Popularisierung des TLS-Ansatzes, indem eine umfassende Strategie zur Berechnung einer (gewichteten) Kleinste-Quadrate Lösung für die betrachtete Klasse an nichtlinearen Ausgleichungsproblemen bereitgestellt wird. Die vorgeschlagenen Ansätze und implementierten Algorithmen können zur Berechnung direkter Lösungen in vielen Ingenieuraufgaben eingesetzt werden, bei denen Effizienz wichtig ist, während für stochastische Modelle mit allgemeineren Gewichten auf die iterativen Lösungsansätze zurückgegriffen werden kann.
