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Spectra and dynamics of driven linear quantum rotors
symmetry analysis and algebraic methods
Mirahmadi, Marjansadat
The development of laser technologies and techniques to cool atoms and molecules has opened new possibilities to manipulate and control quantum matter by tailored external fields. In particular, quantum rotors subject to external fields have enjoyed considerable interest of both the physics and chemistry communities. Furthermore, experimental as well as theoretical investigations of the dynamics of driven quantum rotors have provided insight into fundamental aspects of quantum dynamics, such as revival structures, quantum-classical correspondence, and quantum chaos.
Herein, we investigate, mostly analytically, the spectral properties as well as the dynamics of a two-dimensional (planar) linear quantum rotor exposed to external orienting and aligning fields. Supplemented by numerical computations that reach beyond what is achievable analytically, we paint quite a complete picture of the physics of the driven planar rotor.
The conditionally quasi-exact solvability of the corresponding eigenproblem, termed the generalized planar pendulum, enables obtaining the lower part of the generalized pendulum’s spectrum analytically. However, this is only possible under certain conditions imposed on the parameters that characterize the strengths of orienting and aligning interactions. By making use of Lie-algebraic and group theoretical methods, we calculated all algebraically obtainable eigenvalues and eigenfunctions of the generalized pendulum’s eigenproblem based on the solutions that had been obtained previously via supersymmetric quantum mechanics. Furthermore, an analogous analysis of the hyperbolic counterpart of the generalized planar pendulum, the Razavy problem, confirmed that the normal and hyperbolic pendula are anti-isospectral, but only in the analytic part of their spectra. Moreover, our analysis of the generalized pendulum problem revealed a relationship between its conditional quasi-exact solvability and the topology of eigenenergy surfaces: the intersections (genuine and avoided) of the eigenenergy surfaces spanned by the dimensionless aligning and orienting interaction parameters arise for certain ratios of these parameters. These ratios coincide with those for which analytic solutions to the generalized pendulum eigenproblem exist.
Building on our knowledge of the analytic stationary states and aided by our numerical calculations, we investigated the dynamics that arises from the interaction of a rigid rotor with aligning and orienting fields that have particular temporal shapes: an ultra-short pulse (δ-kick) and rapidly switched-off or switched-on pulses. For these types of pulses, we found analytic expressions for the resulting wavefunctions, kinetic energies, and the evolution of orientation and alignment. In addition, the revival structure of the resulting wavepackets and the quantum-classical correspondence is captured by the space-time dependence of the probability density known as quantum carpets. In the sudden limit, i.e., when the duration of the pulse is much shorter than the rotational period of the rotor, a combination of orienting and aligning interactions produces a unique pattern in postpulse populations of the rotational states, captured by diagrams termed population quilts.
Accordingly, for each of the orienting, aligning and combined interactions, the time-evolutions of the orientation and alignment differ considerably. The analysis conducted in the case of rapidly switched fields revealed a significant influence of the spectral properties and eigensurface topology of the generalized pendulum on the post-switch populations as well as the time-evolution of the expectation values and the corresponding revival structure.
Die Entwicklung von Lasertechnologien und Techniken zur Kühlung von Atomen und Molekülen hat neue Möglichkeiten eröffnet, die Quantenmaterie durch maßgeschneiderte externe Felder zu manipulieren und zu kontrollieren. Darüber hinaus haben experimentelle und theoretische Untersuchungen der Dynamik von getriebenen quantenmechanischen Rotatoren Einblicke in grundlegende Aspekte der Quantendynamik gegeben, wie Revival-Strukturen, quantenklassische Korrespondenz und Quantenchaos.
In diesem Zusammenhang untersuchen wir, meist analytisch, die spektralen Eigenschaften sowie die Dynamik eines zweidimensionalen (planaren) linearen quantenmechanischen Rotators, der externen Orientierungs- und Ausrichtungsfeldern ausgesetzt ist. Ergänzt durch numerische Berechnungen, die über das analytisch Machbare hinausgehen, zeichnen wir ein recht vollständiges Bild der Physik des getriebenen Planarrotators.
Die bedingte quasi-exakte Lösbarkeit des entsprechenden Eigenproblems, das so genannte generalisierte planare Pendel, ermöglicht es, den unteren Teil des Spektrums des generalisierten Pendels analytisch zu berechnen. Dies ist jedoch nur unter bestimmten Bedingungen möglich, bei denen die Parameter, die die Stärken der Orientierungs- und Ausrichtungs- Wechselwirkungen charakterisieren, festgelegt werden. Unter Verwendung Lie-algebraischer und gruppentheoretischer Methoden haben wir alle algebraisch erhältlichen Eigenwerte und Eigenfunktionen des Eigenproblems des verallgemeinerten Pendels auf der Grundlage der Lösungen niedrigster Ordnung berechnet, die zuvor über die supersymmetrische Quantenmechanik gewonnen wurden. Darüber hinaus bestätigt eine analoge Analyse des hyperbolischen Gegenstücks des verallgemeinerten planaren Pendels, des Razavy-Problems, dass die trigonometrischen und hyperbolischen Hamilton- Operatoren antiisospektral sind, dies jedoch nur im analytischen Teil ihrer Spektren. Des Weiteren zeigt unsere Analyse des generalisierten Pendelproblems einen Zusammenhang zwischen seiner bedingten quasi-exakten Lösbarkeit und der Topologie von Eigenenergieflächen: Die Durchschneidungen (echt bzw. vermieden) der Eigenenergieflächen des Pendels, die durch die dimensionslosen ausrichtenden und orientierenden Interaktionsparameter aufgespannt werden, ergeben sich für bestimmte Relationen dieser Parameter. Diese Verhältnisse stimmen mit denen überein, für die analytische Lösungen für das generalisierte Pendel-Eigenproblem existieren.
Aufbauend auf unserem Wissen über die analytischen stationären Zustände und unterstützt durch numerische Berechnungen untersuchen wir die Dynamik, die sich aus den Wechselwirkungen eines starren Rotators mit Ausrichtungs- und Orientierungsfeldern ergibt, die besondere zeitliche Ausprägungen aufweisen: einen ultrakurzen Impuls (δ-Kick) und plötzliches Aus- und Einschalten der Felder. Für alle diese Fälle finden wir analytische Ausdrücke für die resultierendenWellenfunktionen, kinetischen Energien und die Entwicklung von Orientierung und Ausrichtung. Darüber hinaus wird die Revival-Struktur des resultierenden Wellenpakets und die quantenklassische Korrespondenz in Raumzeitdiagrammen der Wahrscheinlichkeitsdichte erfasst, den so genannten Quantenteppichen. Im Grenzfall ultrakurzer Impulse, d.h. wenn die Dauer der Impulse viel kürzer als die Rotationsperiode des Rotators ist, erzeugt eine Kombination aus orientierenden und ausrichtenden Wechselwirkungen ein charakteristisches Muster in den Populationen der Rotationszustände, grafisch dargestellt in so genannten Quantenquilts.
Dementsprechend unterscheiden sich auch die Zeitreihen der Erwartungswerte von Orientierung und Ausrichtung erheblich. Eine ähnliche Analyse, die bei schnell wechselnden Feldern durchgeführt wird, ergibt einen signifikanten Einfluss der spektralen Eigenschaften und der Eigenflächentopologie des verallgemeinerten Pendels auf die Populationen sowie die Zeitevolution der Erwartungswerte und der entsprechenden Revival-Strukturen.
- The printed version includes ISBN 978-3-7502-8640-5.
