Aspects of volume of convex bodies
| dc.contributor.advisor | Henk, Martin | |
| dc.contributor.author | Freyer, Ansgar | |
| dc.contributor.grantor | Technische Universität Berlin | |
| dc.contributor.referee | Henk, Martin | |
| dc.contributor.referee | Gronchi, Paolo | |
| dc.contributor.referee | Schürmann, Achill | |
| dc.date.accepted | 2022-09-29 | |
| dc.date.accessioned | 2023-02-07T10:36:42Z | |
| dc.date.available | 2023-02-07T10:36:42Z | |
| dc.date.issued | 2023 | |
| dc.description.abstract | The subject of this thesis is the volume of convex bodies K in R^n. Specifically, we investigate the volume vol(K) in the context of three different branches of convex geometry. In the first part of the thesis, we compare the volume of K to the number of integer points G(K) = |K ∩ Z^n| contained in K. Here, one might think of G(K) as a discrete notion of volume. First we establish relations between the lattice points in K and the lattice points in suitable hyperplane sections of K, similar to those that are known for vol(K) from classical convex geometry. Moreover, we control the discrepancy between the discrete volume G(K) and the continuous volume vol(K) with the help of parameters from the geometry of numbers, such as the successive minima. The second part is devoted to so-called affine subspace concentration conditions for centered polytopes. Such conditions have first been proven by Wu [Wu22] for centered polytopes that are, in addition, reflexive and smooth. Wu’s result gives new insights on the distribution of volume within those polytopes. We prove that the conditions of reflexivity and smoothness are not necessary for Wu’s inequalities to hold, i.e., we generalize the affine subspace concentration conditions to arbitrary centered polytopes. In doing so we find a connection to the classical linear subspace conditions in high dimensions. In the third part, we consider the Mahler volume on two classes of polytopes, whose vertex numbers are bounded in each dimension. Our goal is to formulate upper bounds on the Mahler volume for these classes that improve on the Blaschke-Santaló inequality. First, we work with Voronoi cells of lattices in R^3. We prove that the lattice A3* is a local maximizer of the Mahler volume of these Voronoi cells and we present an approach to showing that it is indeed the global maximizer with the help of so-called shadow systems. The second class that we investigate, are matching polytopes of forest with a fixed number of edges. We construct triangulations of these polytpes and their polars that allow us to express their volume in combinatorial terms. As a consequence, we obtain an upper bound on the Mahler volume which improves on the Blaschke-Santaló inequality for forests with sufficiently many leaves. | en |
| dc.description.abstract | Gegenstand dieser Dissertation ist das Volumen konvexer Körper K im R^n. Konkret untersuchen wir das Volumen vol(K) vor dem Hintergrund von drei verschiedenen Teilgebieten der Konvexgeometrie. Im ersten Teil der Arbeit vergleichen wir das Volumen von K mit der Anzahl der ganzzahligen Punkte G(K) = |K ∩ Z^n|, die in K enthalten sind. G(K) darf dabei als ein diskreter Volumenbegriff verstanden werden. Zum einen stellen wir Bezüge zwischen der Anzahl der ganzzahligen Punkte in K zu den Gitterpunkten in Schnitten von K mit geeigneten Hyperebenen her, wie man sie in ähnlicher Form aus der klassischen Konvexgeometrie kennt. Zum anderen wollen wir die Diskrepanz zwischen dem diskreten Volumen G(K) und dem kontinuierlichen Volumen vol(K) mit Hilfe von Parametern aus der Geometrie der Zahlen, wie etwa den sukzessiven Minima, kontrollieren. Der zweite Teil widmet sich einer sogenannten Affine Subspace Concentration Condition für zentrierte Polytope. Eine solche wurde zuerst von Wu für zentrierte Polytope, die zusätzlich reflexiv und glatt sind, bewiesen [Wu22]. Wus Resultat gibt neue Erkenntnisse über die Verteilung des Volumens innerhalb dieser Polytope. Wir zeigen, dass die Reflexivität und Glattheit für die Gültigkeit von Wus Ungleichung nicht notwendig sind, d.h. wir verallgemeinern die Affine Subspace Concentration Conditions auf beliebige zentrierte Polytope. Dabei stoßen wir auf einen Zusammenhang zu den klassichen Linear Subspace Concentration Conditions in hohen Dimensionen. Im dritten Teil befassen wir uns mit dem Mahlervolumen auf zwei speziellen Klassen von Polytopen, deren Eckenzahl in jeder Dimension beschränkt ist. Unser Ziel ist es für diese Klassen obere Schranken an das Mahlervolumen anzugeben, die eine Verbesserung der Blaschke-Santalóschen Ungleichung darstellen. Zunächst betrachten wir dazu die Voronoizellen von Gittern im R^3. Wir zeigen, dass das Gitter A3* ein lokales Maximum des Mahlervolumens der Voronoizelle darstellt und wir präsentieren einen Ansatz um mit Hilfe von sogenannten Shadow Systems zu zeigen, dass das Maximum in der Tat global ist. Die zweite Klasse, die wir untersuchen, sind die Matching Polytope von Wäldern mit fester Kantenzahl. Wir konstruieren Triangulierungen dieser Polytope und ihrer polaren Polytope, die es uns erlauben ihr Volumen mit Mitteln der Kombinatorik auszudrücken. So erhalten wir eine obere Schranke an ihr Mahlervolumen, welche die Blaschke-Santaló Ungleichung für Wälder mit hinreichend vielen Blättern verbessert. | de |
| dc.identifier.uri | https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/18159 | |
| dc.identifier.uri | https://doi.org/10.14279/depositonce-16952 | |
| dc.language.iso | en | |
| dc.rights.uri | https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ | |
| dc.subject.ddc | 516 Geometrie | de |
| dc.subject.other | lattice point numerator | en |
| dc.subject.other | successive minima | en |
| dc.subject.other | subspace concentration | en |
| dc.subject.other | Mahler volume | en |
| dc.subject.other | polytopes | en |
| dc.subject.other | Gitterpunktzähler | de |
| dc.subject.other | Sukzessive Minima | de |
| dc.subject.other | Subspace Concentration | de |
| dc.subject.other | Mahlervolumen | de |
| dc.subject.other | Polytope | de |
| dc.title | Aspects of volume of convex bodies | en |
| dc.title.subtitle | discretization, subspace concentration and polarity | en |
| dc.title.translated | Eigenschaften des Volumens konvexer Körper | de |
| dc.title.translatedsubtitle | Diskretisierung, Subspace Concentration und Polarität | de |
| dc.type | Doctoral Thesis | |
| dc.type.version | acceptedVersion | |
| dcterms.rightsHolder.reference | Deposit-Lizenz (Erstveröffentlichung) | |
| tub.accessrights.dnb | free | * |
| tub.affiliation | Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften::Inst. Mathematik::FG Diskrete Mathematik / Geometrie | |
| tub.publisher.universityorinstitution | Technische Universität Berlin |