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Bayesian inferences and time-frequency analysis assisted determination of optical constants in the extreme ultraviolet range
Saadeh, Qais
Extreme Ultraviolet (EUV) radiation has numerous applications, primarily in lithography, astronomy and spectroscopy. Optical elements are needed for the technological applications of EUV radiation, and their realization begins with materials selection. A difficulty in materials selection for fabricating suitable optical elements is the lack of experimental comprehensive optical constants databases. In the EUV spectral range, most of the available data are given without calculated uncertainties. The existing optical constants databases have significant inconsistencies for many elements. Data for compounds such as alloys barely exists. The determination of optical constants in the EUV range is intrinsically arduous. This spectral range accommodates absorption fine-structures and coincides with bound electrons’ energies. The optical constants can vary considerably over a single nanometre at EUV spectral range where radiation is also highly absorbed by almost all materials.
Angle-Dependent Reflectometry (ADR) enables the determination of the two parts of the complex refractive index, at any wavelength. From substrates, thin films and multilayers. For reflectivity data, an inverse-problem has to be solved in order to determine optical constants, where they are considered optimization parameters given the simulated Fresnel’s equations. To support the relevant inverse-problem, Time-Frequency Analysis (TFA) methods are used to analyse complementary X-ray Reflectivity (XRR) data. XRR is established for its high sensitivity for the geometrical characteristics of thin films. TFA allows a direct characterization of XRR, circumventing the need of trial-and-error optimization schemes for inferring information about the sample’s structure. Combining TFA and complementary XRR yields a refined preliminary model for the optical constants inverse-problem. The credibility of the preliminary model is crucial for resolving the optical response in the EUV range, because ultra-thin contamination and oxidation layers or interfacial imperfections considerably affect the optical response in the EUV range.
For this work, to arrive at reliable optical constants, ADR was also coupled with a Markov chain Monte Carlo (MCMC)-Bayesian inferences framework. The latter offers enhanced investigation of the optical constants relevant inverse-problem in comparison with other known classical optimization algorithms. MCMC-Bayesian inferences primarily allow calculating uncertainties from the targeted parameters and their cross-correlations.
In two synchrotron facilities, ADR data was collected from ruthenium, cobalt and cobalt-tantalum alloys thin film samples. These materials are highly relevant for the development of Extreme Ultraviolet Lithography (EUVL). Since ruthenium is widely used for capping Bragg Mo/Si mirrors, the influence of Hydrogen-radical cleaning on ruthenium thin films is investigated given a relatively wide spectral range in the EUV. Also, the optical constants of cobalt and cobalt-tantalum alloys are investigated, since they are promising candidates for partially mitigating the so-called “3D mask-effects” of EUV photomasks.
Additionally, the accuracy of the Independent Atom Approximation (IAA) for predicting binary alloys’ optical constants is examined. The results of this work pave the way for refining theoretical models, that aim at defining the relation between the elemental compositions of binary alloys and their optical constants. The understanding of such a relation would be a key enabler for materials selection, regarding optical element design for EUV relevant technologies, primarily EUVL.
Extreme Ultraviolette (EUV) Strahlung findet in zahlreichen Bereichen Anwendung, z. B. in der Lithografie, Astronomie, und Spektroskopie. Für die technologische Realisierung von EUV-Anwendungen werden hochpräzise optische Elemente benötigt. Eine Schwierigkeit bei der Materialauswahl für die Herstellung geeigneter optischer Elemente ist das Fehlen einer umfassenden experimentellen Datenbank mit optischen Konstanten für den EUV-Spektralbereich. Die meisten der verfügbaren Daten sind ohne berechnete Unsicherheiten angegeben. Die bestehenden Datenbanken für optische Konstanten weisen für viele Elemente große Unstimmigkeiten auf. Für Stoffgemische wie Legierungen gibt es außerdem nur sehr wenige Daten. Die Bestimmung der optischen Konstanten im EUV-Bereich ist mit weiteren Herausforderungen verbunden. Dieser Spektralbereich beherbergt feine Absorptionsstrukturen und fällt mit den Energien der gebundenen Elektronen zusammen. Die optischen Konstanten schwanken deutlich über kleine Spektralbereiche, und auch die Strahlung im EUV-Spektralbereich wird von fast allen Materialien stark absorbiert.
Die winkelabhängige Reflektometrie (Angle-Dependent Reflectometry (ADR)) ermöglicht die Bestimmung der beiden Teile des komplexen Brechungsindexes von Substraten, dünnen Schichten und Multilayern für jede Wellenlänge. Um die optischen Konstanten aus den gemessenen Reflektivitätsdaten zu bestimmen muss ein inverses Problem gelöst werden, wobei die optischen Konstanten als Optimierungsparameter in die simulierten Fresnel-Koeffizienten eingehen. Zur Untersuchung dieses inversen Problems werden Methoden der Zeit-Frequenz-Analyse (Time-Frequency Analysis (TFA)) verwendet, um zusätzliche Röntgenreflektometriedaten zu analysieren. Röntgenreflektometrie ist bekannt für seine hohe Messempfindlichkeit für die geometrischen Eigenschaften von dünnen Schichten. Die Frequenzanalyse der gemessenen Interferenzmuster ermöglicht eine direkte Verifikation der Schichtstruktur, wodurch die Notwendigkeit von trial-and-error Optimierungsverfahren für die Bestimmung des Schichtstapels umgangen werden kann. Die Kombination der Frequenzanalyse mit Röntgenreflektometrie führt zu einem verfeinerten vorläufigen Modell für das Problem der inversen optischen Konstanten im EUV spektral Bereich. Die Validität dieses Modells ist entscheidend für die Lösung der optischen Wirkung im EUV-Bereich.
Zur Berechnung hochgenauer optischer Konstanten wurde die Analyse der ADR in dieser Arbeit auch mit einem Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC)-Bayesian Inferences Framework kombiniert. Letzteres bietet eine deutlich verbesserte Untersuchung des für die optischen Konstanten relevanten inversen Problems im Vergleich zu anderen bekannten Optimierungsalgorithmen und ermöglicht die Berechnung von Unsicherheiten aus den Zielparametern und ihren Kreuzkorrelationen.
In zwei Synchrotronanlagen wurden ADR-Daten von verschiedenen Dünnschichtproben gesammelt, die für die Entwicklung der Extrem-Ultraviolett-Lithographie (EUVL) von besonderer Bedeutung sind. Weil Ruthenium häufig für die Abdeckung von Bragg-Mo/Si-Spiegeln verwendet wird, wird der Einfluss der radikalischen Wasserstoffreinigung auf Ruthenium-Dünnschichten über einen relativ breiten Spektralbereich im EUV untersucht. Außerdem werden die optischen Konstanten von Kobalt- und Kobalt-Tantal-Legierungen untersucht, weil sie vielversprechende Kandidaten für die Minimierung von sogenannten "3D-Masken-Effekte" bei EUV-Photomasken sind.
Außerdem wird die Genauigkeit der Independent Atom Approximation (IAA) für die Berechnung der optischen Konstanten von binären Legierungen untersucht. Die Ergebnisse dieser Arbeit ermöglichen die Entwicklung von theoretischen Modellen, die darauf abzielen, die Beziehung zwischen den elementaren Zusammensetzungen binärer Legierungen und ihren optischen Konstanten zu definieren. Das grundlegende Verständnis einer solchen Beziehung wäre eine wichtige Voraussetzung für die Materialauswahl im Hinblick auf die Gestaltung optischer Elemente für EUV-relevante Technologien, insbesondere EUVL.
