Loading…
Die beide Physiker Durhuus und Jonsson haben 1994 die Familie der lokal-konstruierbaren (LC) 3-Sphären eingeführt. Ihre Hauptvermutung war, dass diese Familie alle 3-Sphären enthält. Das Problem ist von fundamentaler Bedeutung, um die Konvergenz bestimmter Modelle der dreidimensionalen Quantenphysik zu beweisen. Wir widerlegen die Vermutung und zeigen die Existenz von nicht-LC d-Sphären für jedes d > 2. Dadurch, dass wir die LC-Eigenschaft für d-Mannigfaltigkeiten charakterisieren, verknüpfen wir diese Eigenschaften mit klassischen Begriffen in der kombinatorischen Topologie wie zum Beispiel Schälbarkeit, Konstruierbarkeit und Kollabierbarkeit. Damit erhalten wir Hierarchien dieser Eigenschaften für Mannigfaltigkeiten aller Dimensionen. Die wichtigste Korollare unserer Arbeit sind die folgenden: 1) Verknotete 3-Sphären sind nicht LC, falls der Knoten kompliziert genug ist. (Das widerlegt die Durhuus – Jonsson Vermutung.) 2) Es gibt nur exponentiell viele, schälbare, simpliziale 3-Sphären mit N Tetraedern. (Das beantwortet eine Frage von Gil Kalai.) 3) Alle konstruierbaren 3-Sphären sind kollabierbar. (Das beantwortet eine Frage von Masahiro Hachimori.) 4) Nicht alle kollabierbaren 3-Bälle kollabieren auf ihren Rand abzüglich einer Facette. (Diese Eigenschaft erscheint in Arbeiten von D.R.J.Chillingworth und W.B.R.Lickorish.) 5) Für jedes d > 3 gilt, dass nicht alle LC d-Mannigfaltigkeiten Sphären sind. (Dass alle 2- und 3-Mannigfaltigkeiten Sphären sind, wurde durch Durhuus und Jonsson selbst bewiesen.)
The physicists Durhuus und Jonsson introduced, in 1994, the class of locally constructible (LC) 3-spheres and conjectured that such a class contains all of the 3-spheres. The problem is crucial to prove the convergence of models in discrete quantum gravity. We answer the conjecture negatively by showing the existence of non-LC d-spheres for all d > 2. By characterizing the LC notion combinatorially, we link it to classical concepts in Combinatorial Topology, such as shellability, constructibility and vertex decomposability. We obtain hierarchies of these properties for manifolds of all dimensions. The main corollaries of our study are: 1) knotted 3-spheres are not LC, provided the knot is complicated enough. (This answers Durhuus–Jonsson's conjecture.) 2) There are only exponentially many shellable simplicial 3-spheres on N tetrahedra. (This answers a question of Gil Kalai.) 3) All constructible 3-spheres are collapsible. (This answers a question of M. Hachimori.) 4) Not all collapsible 3-balls collapse onto their boundary minus a facet. (This property appears in works by D.R.J.Chillingworth and by W.B.R.Lickorish.) 5) For each d > 3, not all LC d-manifolds are spheres. (Durhuus and Jonsson proved that all 2- and 3-manifolds are spheres.)
