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In der vorliegenden Arbeit beschäftige ich mich mit dynamischen Systemen mit Zeitverzögerung. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Untersuchung von Kontrolle durch zeitverzögerte Rückkopplung. Diese Kontrollmethode erzeugt ein Rückkopplungssignal aus der Differenz zwischen gegenwärtigem Zustand eines Systems und seinem zeitverzögerten Wert. Die untersuchte Methode wurde ursprünglich von K. Pyragas für die Stabilisierung von periodischen Orbits entwickelt, die in seltsamen Attraktoren von deterministischen, chaotischen Systemen eingebettet sind. Die Erfindung dieser Kontrollmethode war zugleich eine Initialzündung im Bereich der Chaoskontrolle. Innerhalb der vorliegenden Arbeit diskutiere ich die Anwendung von zeitverzögerter Rückkopplung auf verschiedene Klassen von Systemen. Die untersuchten Modellklassen beinhalten lineare Systeme mit instabilen Fixpunkten, nichtlineare Systeme mit instabilen, periodischen Orbits, Systeme mit einer intrinsischen Zeitverzögerung, sowie anregbare, stochastische Systeme. Im letzten Fall betrachte ich sowohl einzelne als auch gekoppelte Systeme. Die Kopplung von einigen, wenigen Elementen bereitet dabei den Weg zur Untersuchung von Motiven in größeren Netzwerken. Bei der Analyse der Kontrollmechanismen verwende ich verschiedene Untersuchungs-methoden und Techniken wie Bifurkationsanalyse, lineare Stabilitätsanalyse, Floquet-Theorie oder Zeitreihenanalyse z. B. durch Auswertung von Power-Spektren. Ich führe aus, dass zeitverzögerte Rückkopplung ein leistungsfähiges Werkzeug darstellt, um die Dynamik eines gegebenen Systems zu kontrollieren. Insbesondere kann die Methode bei der Stabilisierung von instabilen Zuständen genutzt werden.
This thesis is devoted to dynamic systems with delay, especially the investigation of control by time-delayed feedback. This control method constructs a feedback from the current state of a system to its delayed value. It was originally introduced by K. Pyragas for the stabilization of periodic orbits embedded in strange attractors of deterministic, chaotic systems and triggered the field of chaos control. In this thesis, I present applications of time-delayed feedback control to various classes of dynamic systems. These include linear systems with unstable steady states, nonlinear systems with unstable periodic orbits, systems with an intrinsic time delay, and excitable, stochastic systems. In the latter case, I investigate both single and coupled systems which open the perspective on motifs in larger networks. The analysis of the control mechanisms makes use of different techniques ranging from bifurcation analysis, linear stability analysis, and Floquet theory to time series analysis, for instance, on the basis of the power spectrum. I demonstrate that the time-delayed feedback scheme provides a powerful tool to control the dynamics of a given system and can be used especially for the stabilization of unstable states.
