Loading…
Phase transitions in networks of quantum critical systems
Sorokin, Aleksandr
In der vorliegenden Arbeit erforschen wir Netzwerke von Vielteilchen-Quantensystemen, um neue, durch die Wechselwirkung der individuellen Knoten entstehende Quanten- und topologische Phasen zu beschreiben. Alle betrachteten Netzwerke beruhen auf dem semi-klassischen Lipkin–Meshkov–Glick-Model, und die Kopplungen zwischen den Netzwerk-Knoten werden mit entweder einer oder zwei Kopplungskonstanten beschrieben.
Es wurde gezeigt, dass die uniforme anisotropische y–y Kopplung vier Quantenphasen ergibt (wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden), die sich in den Mean-Fields und der Entartung der Grundzustände unterscheiden. Für schwache Kopplungen befindet sich das Netzwerk in der paramagnetischen Phase. Wird es jedoch von der Selbstwechselwirkung dominiert, so wird der Grundzustand exponentiell entartet. Für starke Kopplungen ist der Grundzustand zweifach entartet und weist eine Fernordnung auf.
Über die Mean-Field-Approximation hinausgehend, erhielten wir analytische Ausdrücke für die Dispersionsrelationen der Energie für ein eindimensionales Netz mit periodischen Randbedingungen. Für relativ kleine Netzwerke rechneten wir die Grundzustandsenergie durch direkte Diagonalisierung des Hamiltonians aus.
Das Effekt der Einführung einer zweiten Kopplungskonstante wurde auf dem Beispiel der eindimensionale Kette (eine Erweiterung des SSH-Models auf Vielteilchensysteme) betrachtet, und die grundsätzliche Frage war die Untersuchung vom Wechselspiel zwischen den topologischen und Quantenphasen. Es wurde gezeigt, dass die Sprungkopplung zwischen Knoten fünf Quantenphasen ergibt, wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden.
Die Analyse von der Quantenfluktuationen um die Mean-Field-Lösungen zeigte, dass es für dieses Model topologisch triviale und nicht-triviale Phasen gibt, die durch den Wert der symplectischen Polarisation voneinander abweichen. Die Bulk--Grenzen-Beziehung wurde auf dem Beispiel einer endlichen Kette mit offenen Randbedingungen getestet, und es wurde bestätigt, dass die Anzahl der lokalisierten Randzustände proportional zum Wert der symplectische Polarisation ist. Weitere Analyse zeigte, dass ein zusätzliches Paar von Randzuständen in der selbstwechselwirkungdominierten Quantenphase erscheint, das keinen Zusammenhang mit der Topologie hat. Außerdem, wenn eine von den Kopplungen stark wird, werden topologische Randzustände von Bulk-Bänden abgefangen und dadurch seine Lokalisation verlieren.
In this thesis we explore networks of many-body quantum systems, seeking to describe the new quantum and topological phases that arise from the interaction of individual sites. All the networks are based on the semi-classical Lipkin–Meshkov–Glick model, and the couplings between different sites of the network are described with either one or two coupling constants.
It was shown that uniform anisotropic y–y coupling gives rise to four quantum phases (considering both positive and negative coupling constants), which are different both in the mean fields and in the degeneracy of their ground states. In the weak coupling regime the network is found in the paramagnetic phase, whereas in the strong self-interaction regime the ground state becomes exponentially degenerate. In the strong coupling regime the ground state is two-fold degenerate and has long-range ordering.
Going beyond the mean-field level, we obtained analytical expressions for the energy dispersion relations in the case of a one-dimensional chain with periodic boundary conditions. For smaller networks we obtained the ground state energy using direct diagonalisation of the Hamiltonian.
The effect of introducing a second coupling was studied on the example of a 1D chain – an extension of the Su–Schrieffer–Heeger model to the many-body systems –, where the interplay between topological and quantum phases was the main question. It was shown that the hopping-type coupling leads to appearance of five quantum phases if both positive and negative coupling constants are allowed.
Analysis of quantum fluctuations around mean-field solutions showed the existence of topologically trivial and non-trivial phases, distinguished by the value of symplectic polarisation. The bulk–boundary correspondence was tested on the case of a finite chain with open boundary conditions, showing that the number of localised edge states is related to the value of symplectic polarisation. Further analysis showed that in the self-interaction-dominated quantum phase an additional pair of topology-unrelated edge states emerge. Furthermore, in the regime when one of the couplings is strong, topological edge states get absorbed by the bulk bands and thus loose their localisation.
