# Convex geometry of numbers: covering, successive minima and Banach-Mazur distance

## Xue, Fei

This thesis addresses several classical problems in convex geometry of numbers, including the lattice point covering problem, successive-minima-type inequalities and the Banach-Mazur distance of convex bodies. In the first chapter we will introduce basic concepts, definitions and results which provide the background for the problems in this thesis. Other concepts which are more specific or limited to certain sections will be introduced in corresponding chapters. The second chapter deals with the lattice point covering problem, which looks for the smallest dilation of a given convex body, such that it contains a lattice point of Z^n in any position, i.e., in any translation and rotation. In the 2-dimensional case, we will prove a necessary condition for the smallest dilation of a convex body based on its relation with lattice coverings of the convex body. We will also prove a sufficient condition for the smallest dilation using Steiner Symmetrization. Then, we will provide the smallest dilations of a regular hexagon, a regular octagon and regular 4n-gons. Moreover, we will provide the smallest dilations of cross-polytopes in any dimensions. Chapter 3 focuses on success-minima-type inequalities. The so-called second theorem of Minkowski on successive minima provides optimal upper and lower bounds on the volume of a symmetric convex body in terms of its successive minima. Motivated by conjectures of K. Mahler and E. Makai Jr., we study bounds on the volume of a convex body in terms of the successive minima of its polar body. In this chapter, by adding restrictions to the shape of polar bodies, we will improve the lower bound for the 2-dimensional case together with all equality cases. We will also prove upper bounds for the general case. Chapter 4 focuses on the Banach-Mazur distance between the cube and the cross-polytope. The Banach-Mazur distance between the Lp-ball and the Lq-ball for 1 ≤ p < q ≤ 2 or 2 ≤ p < q ≤ ∞ is exactly n^{1/p−1/q}, while for 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞ it has only been proved to have order n^α, where α = max{1/p − 1/2, 1/2 − 1/q}. The Banach-Mazur distance between the cube and the cross-polytope is the case of p = ∞ and q = 1. We will first list some conjectured Banach-Mazur distances between the cube and the cross-polytope in dimensions 3 to 8 based on computer-based results. Then we will improve the upper and lower bounds for the Banach-Mazur distance between the cube and the cross-polytope. The results from Chapter 2 appeared in [33]. Chapter 3 is joint work with Martin Henk which appeared in [15]. Chapter 4 is based on [32].
Diese Arbeit behandelt verschiedene klassische Probleme der konvexen Geometrie der Zahlen, unter anderem das Gitterpunkt-Überdeckungsproblem, Ungleichungen durch sukzessive Minima und den Banach-Mazur Abstand konvexer Körper. Im ersten Kapitel führen wir grundlegende Konzepte, Definitionen und Resultate ein, auf denen die Probleme dieser Arbeit aufbauen. Spezifischere Konzepte, die nur für gewisse Abschnitte relevant sind, werden in den entsprechenden Kapiteln vorgestellt. Das zweite Kapitel behandelt das Gitterpunkt-Überdeckungsproblem. Dabei ist die kleinste Skalierung eines konvexen Körpers gesucht, sodass der Körper nach jeder Drehung und Verschiebung einen Gitterpunkt aus Z^n enthält. Im zweidimensionalen Fall beweisen wir eine notwendige Bedingung an die kleinste Skalierung eines konvexen Körpers, basierend auf der Beziehung zu den Gitterüberdeckungen des Körpers. Wir beweisen zudem eine hinreichende Bedingung für die kleinste Skalierung mit Hilfe von Steiner-Symmetrisierung. Danach geben wir die kleinstmöglichen Skalierungen eines regulären Sechsecks, regulären Achtecks und regulären 4n-Ecks an. Darüber hinaus geben wir die kleinste Skalierung eines Kreuzpolytops in beliebiger Dimension an. Im dritten Kapitel geht es um Ungleichungen durch sukzessive Minima. Der sogenannte zweite Satz von Minkowski liefert optimale obere und untere Schranken an das Volumen eines konvexen Körpers in Abhängigkeit von seinen sukzessiven Minima. Wir betrachten, motiviert durch Vermutungen von K. Mahler und E. Makai Jr., Schranken an das Volumen eines konvexen Körpers, abhängig von den sukzessiven Minima seines polaren Körpers. Durch genauere Untersuchungen der Form polarer Körper, verbessern wir im zweidimensionalen Fall die untere Schranke und geben eine Charakterisierung der Gleichheitsfälle an. Kapitel 4 befasst sich mit dem Banach-Mazur Abstand des Würfels und des Kreuzpolytops. Der Banach-Mazur Abstand des Lp–Balls zum Lq–Ball, für 1 ≤ p < q ≤ 2, oder 2 ≤ p < q ≤ ∞, ist genau n^{1/p−1/q}. Dagegen ist für 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞ lediglich bekannt, dass der Abstand von der Größenordnung n^α ist, wobei α = max{1/p−1/2, 1/2−1/q}. Der Banach-Mazur Abstand zwischen dem Würfel und dem Kreuzpolytop entspricht dem Fall p = ∞ und q = 1. Basierend auf computergestützten Berechnungen geben wir zunächst mögliche optimale Banach-Mazur Abstände zwischen Würfeln und Kreuzpolytopen in Dimension 3 bis 8 an. Anschließend verbessern wir die allgemeine obere und untere Schranke an den Banach-Mazur Abstand zwischen Würfel und Kreuzpolytop. Die Resultate aus Kapitel 2 beruhen auf der Arbeit [33], Kapitel 3 ist eine gemeinsame Arbeit [15] mit Martin Henk, und Kapitel 4 basiert auf [32].