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Structured optimization-based reduction, identification, and control
Schwerdtner, Paul
In this cumulative dissertation, optimization-based methods for structured model order reduction, system identification, and H-infinity controller synthesis are developed. The methods are designed specifically for the system theoretical treatment of port-Hamiltonian (pH) systems. This system class can model complex physical processes from various physical domains and technical fields, such as electrodynamics, thermodynamics or classical and quantum mechanics, using an energy-based formulation. In addition, pH systems allow for an intuitive, energy-based coupling of systems of different physical domains and modeling accuracies, which makes pH systems a cornerstone for modeling complex multi-physics systems and large-scale system networks.
To benefit from these advantageous properties of pH systems when optimizing the dynamic behavior of complex networks, it is necessary to adapt system theoretical methods like model order reduction, system identification, and controller synthesis to the pH structure because, in general, classical algorithms for model order reduction and system identification do not ensure that the reduced or identified models can be expressed as pH systems. However, this is often required when the reduced or identified models are used in pH networks. Similarly, controllers obtained by classical controller synthesis cannot be formulated as pH systems, in general. While there already exist adaptations of system theoretical methods, these adaptations can lead to worse results in classical system theoretical performance measures. For this reason, a new approach for the development of system theoretical algorithms for pH systems is described in this thesis.
This approach is based on the formulation of reduction, identification, and synthesis as optimization problems in the transfer functions of pH systems. Here, a straight-forward parameterization of pH systems is exploited to enable the utilization of unconstrained optimization methods. In all proposed methods, an ansatz system in pH form is chosen in which all matrix elements of the system matrices depend on a parameter vector. Subsequently, either the H-infinity approximation error, the least-squares error or the H-infinity norm of the closed-loop transfer function are reduced when conducting model order reduction, system identification or controller synthesis, respectively. For that, a functional is developed specifically for each application and an adapted optimization strategy is employed.
The presented methods are compared with state-of-the-art algorithms in pH system theory. In most comparisons, the new optimization-based methods exhibit a clear improvement in accuracy or performance. In addition, the developed methods can also be extended to further problems, such as the reduction of differential-algebraic equation systems or parametric model order reduction of parametric systems. Here, the optimization-based methods perform again significantly better than state-of-the-art methods.
Gegenstand dieser kumulativen Dissertation ist die Entwicklung optimierungsbasierter Methoden für die strukturierte Modellreduktion, Systemidentifikation und H∞-Reglersynthese. Die Methoden werden im Speziellen zur systemtheoretischen Arbeit mit port-Hamiltonischen (pH) Systemen entwickelt. Diese Systemklasse kann über eine energiebasierte Modellierung komplexe dynamische Prozesse aus verschiedenen physikalischen und technischen Gebieten, wie etwa der Elektrodynamik, Thermodynamik oder der klassischen Mechanik bzw. Quantenmechanik einheitlich modellieren.
Zudem ist eine energiebasierte Kopplung verschiedener physikalischer Systeme intuitiv möglich, was pH Systeme zu einem Grundpfeiler der Modellierung komplexer multiphysikalischer Systeme und großer Systemnetzwerke macht. Um die vorteilhaften Eigenschaften von pH Systemen bei der Optimierung des dynamischen Verhaltens komplexer Netzwerke nutzen zu können, ist es erforderlich, Methoden der Modellreduktion, Systemidentifikation und der Reglersynthese für die Arbeit mit pH Systemen anzupassen. Klassische Algorithmen der Modellreduktion und der Systemidentifikation stellen nämlich nicht sicher, dass die reduzierten oder identifizierten Systeme der pH Struktur genügen, was allerdings notwendig ist, um diese Systeme in pH Netzwerken zu verwenden. In ähnlicher Weise lassen sich über klassische Reglersyntheseverfahren gewonnene Regler im Allgemeinen nicht als pH System formulieren. Die bisherigen Anpassungen dieser systemtheoretischen Verfahren können jedoch zu einer verminderten Genauigkeit bei der Modellreduktion bzw. einer verringerten Performanz bei der Reglersynthese führen. Daher wird in dieser Arbeit ein neuer Ansatz für die Entwicklung systemtheoretischer Algorithmen für pH Systeme beschrieben.
Dieser Ansatz basiert auf der Formulierung des Modellreduktions-, Systemidentifikations-und Regelungsproblems als Optimierungsproblem in den Übertragungsfunktionen von pH Systemen. Hier wird die Möglichkeit, pH Systeme unkompliziert parametrieren zu können, für die Verwendung unrestringierter Optimierungsverfahren ausgenutzt. Es wird zunächst als Ansatz ein System in pH Form gewählt, in dem alle Matrixelemente der Systemmatrizen dieses pH Systems von einem Parametervektor abhängen. Im Anschluss wird über ein speziell für diesen Anwendungsfall entwickeltes Funktional und eine angepasste Optimierungsstrategie entweder der H∞-Approximationsfehler im Fall der Modellreduktion, die Fehlerquadratsumme im Fall der Systemidentifikation oder die H∞-Norm der Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises im Fall der H∞-Reglersynthese reduziert.
Die vorgestellten Methoden werden mit dem Stand der Technik im Bereich der pH Systemtheorie verglichen. Es zeigt sich in diesen Vergleichen, dass durch die hier entwickelten Verfahren häufig eine deutliche Verbesserung in Bezug auf die Genauigkeit bzw. der Performanz erreicht werden kann. Darüber hinaus können die Methoden durch ihre Flexibilität auch auf weitere Probleme, wie etwa die Reduktion differentiell-algebraischer Gleichungen oder parametrischer Systeme angewendet werden, wobei sich die Ergebnisse der hier vorgestellten optimierungsbasierten Verfahren wiederum deutlich vom bisherigen Stand der Technik abheben.
