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Rumpf- und Rand-Hall-Leitfähigkeit

Richter, Thomas

Verschiedene mathematische Ansätze zur Behandlung von Rand und Rumpf in Quanten-Hall Systemen werden vorgestellt. Wir beschreiben zunächst spektrale Randbedingungen, die über die Chiralität der Eigenfunktionen eine Aufspaltung des Hilbert-Raumes in eine direkte Summe von Rand- und Rumpfzuständen definieren. Das asymptotische Verhalten der Energien und Eigenzustände des magnetischen Laplace-Operators wird im Falle der Zylindergeometrie berechnet und die Quantisierung der Hall-Leitfähigkeit gezeigt. Im zweiten Kapitel beweisen wir die Quantisierung einer Rand-Leitfähigkeit des diskreten magnetischen Laplace-Operators auf einem endlichen Zylinder, indem wir sie mit der Windungszahl der Dirichlet-Eigenwerte identifizieren. Mit Hilfe komplexer Bloch-Theorie wird gezeigt, dass diese Windungszahl gleich der über die Kubo-Chern Formel berechnete Rumpf-Leitfähigkeit der Bloch-Bänder ist. Letztendlich verallgemeinern wir mit Hilfe von K-Theorie und nicht-kommutativer Geometrie diese Resultate auf Operatoren, die ein Unordnungspotential einschließen. Wir betrachten eine exakte Sequenz der C^*-Algebren von Ganz- und Halbraum-Observablen, die Toeplitz-Erweiterung, und beweisen die Gleichheit der Rand- und Rumpfleitfähigkeit mit Hilfe eines Dualitätstheorems über Paarungen von K-Gruppen mit zyklischer Kohomologie.
Various mathematical approaches for handling bulk and edge in quantum Hall systems are presented. First, we describe a spectral boundary condition using the chirality of eigenstates on the boundary to split the Hilbert space in a direct sum of edge and bulk states. For the cylinder geometry, the asymptotic behavior of the energies and the eigenstates of the magnetic Laplacian are computed and the quantization of the Hall conductance is shown. In the second chapter, we proof the quantization of an edge conductance of the discrete magnetic Laplacian on a finite cylinder by identifying it with the winding number of the Dirichlet eigenvalue. By means of complex Bloch analysis, this winding number is seen to be equal to the bulk conductance as given by the Kubo Chern formula computed from the Bloch bands. Finally, we generalize this result to operators including a disordered potential using techniques of K-theory and non-commutative geometry. We consider an exact sequence of the C^* algebras of full plane and half plane observables, the Toeplitz extension, and proof the equality of bulk and edge conductance by using a duality theorem of pairings of K-groups with cyclic cohomology.