In klassischen Finanzmarktmodellen wird davon ausgegangen, dass Preise nicht davon abhängen, wie viel gehandelt wird. In Wirklichkeit sind Märkte jedoch illiquide, so dass die eigene Handelsstrategie den Preis nachteilig beeinflusst. In der vorliegenden Arbeit wird dieser Preiseinfluss durch ein Modell eines Orderbuchs einer elektronischen Börsenplattform beschrieben. Unter Verwendung dieses Modells betrachten wir das Problem eines institutionellen Investors, der eine große Aktienposition in vorgegebener Zeit kaufen möchte. Gesucht ist die optimale Zerlegung der Order, so dass die gesamten erwarteten Preiseinflusskosten minimiert werden. Wir formulieren diese Fragestellung des Investors als singuläres Kontrollproblem mit drei Zustandsvariablen. Verglichen zu vorhandener Literatur liegt unser Hauptaugenmerk auf der sich zeitlich ändernden Liquidität im Orderbuch. Dies erlaubt uns zu beschreiben, wie der Investor sich in Zeiten relativ hoher bzw. niedriger Liquidität verhalten sollte. Zunächst behandeln wir den deterministischen Fall, wo wir das Liquiditätsprofil am Anfang des Zeithorizonts fixieren. Wie erwartet lässt sich der Zustandsraum in eine Kauf- und Warteregion zerlegen. In diskreter Zeit können wir per Induktion nachweisen, dass die Struktur dieser Regionen besonders intuitiv ist. In stetiger Zeit lässt sich die Existenz optimaler Strategien zeigen und somit unser Resultat aus diskreter zu stetiger Zeit überführen. In einigen Situationen können wir schließlich explizite Lösungen unseres Optimierungsproblems angeben. Im Anschluss betrachten wir den Fall stochastischer Liquidität, so dass optimale Strategien sich der Liquiditätsentwicklung anpassen. Es stellt sich als schwierig heraus, dass unsere Kostenfunktion nicht in allen Fällen konvex in der Strategie des Investors ist. Sobald wir diese Konvexität erzwingen, folgt die Eindeutigkeit optimaler Strategien unmittelbar. Gleichzeitig können wir aber auch die Existenz optimaler Strategien zeigen und wiederum das gewünschte Strukturresultat für die Kauf- und Warteregion sicherstellen. Darüber hinaus lassen sich nicht konvexe Fälle stochastischer Liquidität angeben, die das Strukturresultat verletzen. Zu guter Letzt leiten wir durch Näherung der Zustandsvariablen durch kontrollierte Markovketten ein numerisches Schema her und beweisen dessen Konvergenz. Auf diese Weise können wir die Wertfunktion und die zugehörigen optimalen Strategien näherungsweise berechnen.
Classical models in mathematical finance assume that an arbitrary amount of assets can be traded at the current market price. But in reality, markets are illiquid such that trading does have an adverse price impact. In this thesis, this price dependence on trading strategies is described by a model of a limit order book which is relevant in exchange electronic trading systems. Using this model, we consider a large investor who wants to purchase a given amount of shares over a fixed interval of time. We look for the optimal trading schedule such that the total expected costs due to the adverse price impact are minimized. We phrase this optimal execution task of the large investor as a singular control problem with three state dimensions. Compared to the existing literature, our focus is on time-varying liquidity in the limit order book. This allows us to derive how the large investor should trade in periods of comparatively high or low liquidity. We first treat the deterministic case, where we fix the liquidity profile at the initial time. As one would expect, the state space separates into a no-trading and a trading region. In discrete time, the structure of these regions is found to be particularly intuitive. Together with the fact that we can prove the existence of optimal strategies in continuous time, we can transfer our results from discrete to continuous time. We derive closed-form solution under appropriate conditions. We go ahead by considering the stochastic liquidity case, where optimal trading strategies react to the liquidity available in the market. A major difficulty is that our cost function may not be convex in the strategies. Enforcing this convexity, uniqueness follows immediately, but we are additionally able to conclude the existence of optimal strategies and again derive convenient structural results concerning the no-trading and trading region. We also construct non-convex stochastic liquidity cases where these structural results fail. Finally, we establish a convergent numerical scheme which allows us to compute the value function and optimal strategies by approximating the state space variables by a controlled Markov chain.
