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Complex line bundles over simplicial complexes

Knöppel, Felix Jakob

Inst. Mathematik

This cumulative dissertation treats practical and theoretical aspects of discrete vector bundles over simplicial complexes. Here the main focus is on discrete hermitian line bundles which, in recent years, found a number of remarkable applications in computer graphics. Two of these applications are part of this thesis: The computation of optimal n-direction fields on surfaces (Chapter 1) and the computation of stripe patterns on surfaces (Chapter 2). The developed algorithms yield, in comparison with state-of-the-art methods, results of same quality but are an order of magnitude faster. In the last chapter, motivated by their applications, discrete vector bundles are looked at from the viewpoint of discrete differential geometry (Chapter 3). This includes a complete classification of the discrete vector bundles with connection and the classification of discrete hermitian line bundles with curvature. Moreover, to each discrete hermitian line bundle with curvature is assigned a unique piecewise-smooth hermitian line bundle with connection. This leads to a generalization of the well-known cotangent-Laplace operator to arbitrary discrete hermitian line bundles with curvature over finite Euclidean simplicial complexes.
Diese kumulative Dissertation behandelt praktische und theoretische Aspekte diskreter Vektorbündel über Simplizialkomplexen. Dabei stehen hier vor allem hermitesche Linienbündel im Vordergrund, welche in den letzten Jahren eine Reihe bemerkenswerter Anwendungen in der Computergrafik fanden. Zwei dieser Anwendungen sind dabei Teil dieser Dissertation: die Berechnung von optimalen n-Richtungsfeldern auf Flächen (Kapitel 1) und die Berechnung von Streifenmustern auf Flächen (Kapitel 2). Die entwickelten Algorithmen liefern im Vergleich mit anderen modernen Methoden Resultate von gleicher Qualität, sind aber um eine Größenordnung schneller. Motiviert durch ihre Anwendungen werden dann im letzten Kapitel diskrete Vektorbündel aus dem Blickwinkel der diskreten Differentialgeometrie betrachtet (Kapitel 3). Dies beinhaltet eine vollständige Klassifikation der diskreten Vektorbündel mit Zusammenhang und die Klassifikation der hermiteschen Linienbündel mit Krümmung. Weiter wird jedem diskreten hermiteschen Linienbündel mit Krümmung ein eindeutiges stückweise glattes Bündel mit Zusammenhang zugeordnet. Dies führt zu einer Verallgemeinerung des bekannten Kotangens-Laplace-Operators auf beliebige diskrete hermitesche Linienbündel mit Krümmung über endlichen Euklidischen Simplizialkomplexen.