Kodierung von Gaußmaßen
| dc.contributor.advisor | Scheutzow, Michael | en |
| dc.contributor.author | Fehringer, Franz | en |
| dc.contributor.grantor | Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften | en |
| dc.date.accepted | 2001-07-13 | |
| dc.date.accessioned | 2015-11-20T14:39:40Z | |
| dc.date.available | 2001-10-15T12:00:00Z | |
| dc.date.issued | 2001-10-15 | |
| dc.date.submitted | 2001-10-15 | |
| dc.description.abstract | Es sei $gamma$ ein Gaußmaß auf der Borelschen $sigma$-Algebra $mathcal B$ des separablen Banachraums $B$. Für $X:Omega o B$ gelte $P_X=gamma$. Wir untersuchen den mittleren Fehler, der bei Kodierung von $gamma$ respektive $X$ mit $Ninmathbb N$ Punkten entsteht, und bestimmen untere und obere Abschätzungen für die Asymptotik ($N oinfty$) dieses Fehlers. Hierbei betrachten wir zu $r>0$ Gütekriterien wie folgt: Deterministische Kodierung $delta_2(N,r) := inf_{y_1,ldots,y_Nin B}Emin_{k=1,ldots,N} | de |
| dc.description.abstract | X-y_k | de |
| dc.description.abstract | ^r.$ Zufällige Kodierung $delta_3(N,r) := inf_ u Emin_{k=1,ldots,N} | de |
| dc.description.abstract | X-Y_k | de |
| dc.description.abstract | ^r.$ Die $(Y_k)$ seien hierbei i.i.d., unabhängig von $X$, und nach $ u$ verteilt. Das Infimum wird über alle Wahrscheinlichkeitsmaße $ u$ gebildet. Für das Gütekriterium $delta_4(cdot,r)$ wird ausgehend von der Definition von $delta_3(cdot,r)$ $ u$ nicht optimal, sondern $ u=gamma$ gewählt. Das Gütekriterium $delta_1(cdot,r)$ ergibt sich aus der Quellkodierungstheorie nach Shannon. Es gilt $delta_1(cdot,r) le delta_2(cdot,r) le delta_3(cdot,r) le delta_4(cdot,r).$ Wir stellen folgenden Zusammenhang zwischen der Asymptotik von $delta_4(cdot,r)$ und den logarithmischen kleinen Abweichungen von $gamma$ her: Es gebe $kappa,a>0$ und $binR$ mit $psi(varepsilon) := -log P{ | de |
| dc.description.abstract | X | de |
| dc.description.abstract | <varepsilon} sim kappa(frac1varepsilon)^a(logfrac1varepsilon)^b, varepsilondownarrow 0.$ Dann gilt $frac{sqrt{2^r}kappa^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}} simle delta_4(N,r) simle frac{2^r(2kappa)^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}}, N oinfty.$ Für das Wienermaß in $L_2[0,1]$ ist die Asymptotik von $delta_1(N,2)$ schon länger bekannt, es gilt $frac2{pi^2log N} sim delta_1(N,2) le delta_2(N,2) le delta_3(N,2) le delta_4(N,2) simle frac1{log N},q N oinfty$ und damit $limsup_{N oinfty}frac{delta_4(N,2)}{delta_1(N,2)} ge frac{pi^2}8>1$. | de |
| dc.description.abstract | Let $gamma$ be a Gaussian measure on the Borel $sigma$-algebra $mathcal B$ of the separable Banach space $B$. Let $X:Omega o B$ with $P_X=gamma$. We investigate the average error in coding $gamma$ resp. $X$ with $Ninmathbb N$ points and obtain lower and upper bounds for the error asymptotics ($N oinfty$). We consider, given $r>0$, fidelity criterions as follows: Deterministic Coding $delta_2(N,r) := inf_{y_1,ldots,y_Nin B}Emin_{k=1,ldots,N} | en |
| dc.description.abstract | X-y_k | en |
| dc.description.abstract | ^r.$ Random Coding $delta_3(N,r) := inf_ u Emin_{k=1,ldots,N} | en |
| dc.description.abstract | X-Y_k | en |
| dc.description.abstract | ^r.$ The $(Y_k)$ above are i.i.d., independent of $X$, and distributed according to $ u$. The infimum is taken with respect to all probability measures $ u$. For the fidelity criterion $delta_4(cdot,r)$, starting from the definition of $delta_3(cdot,r)$, $ u$ is not chosen optimal, but as $ u=gamma$. The fidelity criterion $delta_1(cdot,r)$ is given according to the source coding theory of Shannon. The fidelity criterions are connected through $delta_1(cdot,r) le delta_2(cdot,r) le delta_3(cdot,r) le delta_4(cdot,r).$ We obtain the following connection between the asymptotics of $delta_4(cdot,r)$ and the den logarithmic small deviations of $gamma$: Let $kappa,a>0$ and $binR$ with $psi(varepsilon) := -log P{ | en |
| dc.description.abstract | X | en |
| dc.description.abstract | <varepsilon} sim kappa(frac1varepsilon)^a(logfrac1varepsilon)^b, varepsilondownarrow 0.$ Then the twosided asymptotic inequality $frac{sqrt{2^r}kappa^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}} simle delta_4(N,r) simle frac{2^r(2kappa)^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}}, N oinfty$ holds. For Wiener measure in $L_2[0,1]$, the asymptotics of $delta_1(N,2)$ is well known: $frac2{pi^2log N}simdelta_1(N,2) le delta_2(N,2) le delta_3(N,2) le delta_4(N,2) simle frac1{log N},q N oinfty$ We conclude $limsup_{N oinfty}frac{delta_4(N,2)}{delta_1(N,2)} ge frac{pi^2}8>1$. | en |
| dc.identifier.uri | urn:nbn:de:kobv:83-opus-1924 | |
| dc.identifier.uri | https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/587 | |
| dc.identifier.uri | http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-290 | |
| dc.language | German | en |
| dc.language.iso | de | en |
| dc.rights.uri | http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/ | en |
| dc.subject.ddc | 510 Mathematik | en |
| dc.subject.other | Gaußmaße | de |
| dc.subject.other | kleine Abweichungen | de |
| dc.subject.other | Quellkodierung | de |
| dc.subject.other | Vektorquantisierung | de |
| dc.subject.other | Borellsche Ungleichung | de |
| dc.subject.other | Gaussian measures | en |
| dc.subject.other | small balls | en |
| dc.subject.other | source coding | en |
| dc.subject.other | vector quantization | en |
| dc.subject.other | Borell inequality | en |
| dc.title | Kodierung von Gaußmaßen | de |
| dc.type | Doctoral Thesis | en |
| dc.type.version | publishedVersion | en |
| tub.accessrights.dnb | free | * |
| tub.affiliation | Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften | de |
| tub.affiliation.faculty | Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften | de |
| tub.identifier.opus3 | 192 | |
| tub.identifier.opus4 | 197 | |
| tub.publisher.universityorinstitution | Technische Universität Berlin | en |
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