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Die Asymptotik von Galoiserweiterungen globaler Körper hat in den jüngsten Jahren durch die Mallevermutung vermehrt an Interesse gewonnen. Hierbei wird für einen vorgegebenen globalen Zahl- oder Funktionenkörper $F$ und einer endlichen Gruppe $G$ die Asymptotik der Anzahl $Z(F,G;x)$ der Körpererweiterungen mit zu $G$ isomorpher Galoisgruppe und durch $x$ beschränkter Norm der Relativdiskriminante untersucht. Nach der (erweiterten) Mallevermutung soll diese von der Gestalt $$ Z(F,G;x) \sim c(F,G) \cdot x^{a(G)} \cdot \log(x)^{b(F,G)-1} $$ sein, d.h. der asymptotische Quotient beider Seiten dieser Relation strebt gegen $1$. Das Kernstück der Vermutung sind die präzisen Formelvorgaben für die Konstanten $a(G)$ und $b(F,G)$. Interessanterweise ist die Formel für die $a$-Konstante nur von $G$ abhängig. Ein solides Fundament für die Mallevermutung bildet das bereits zuvor von David Wright erzielte Resultat, mit welchem diese Asymptotik für abelsche Gruppen, deren Ordnung teilerfremd zu der Charakteristik $p$ von $F$ ist, nachgewiesen wird. Die verbleibenden Fälle mit $p\mid \# G$ betreffen algebraische Funktionenkörper und deren wild verzweigte Erweiterungen. Für diese existierten bislang keinerlei Resultate oder tiefer gehende Untersuchungen. Wright formulierte lediglich die Vermutung, dass sich jene Fälle analog zu den restlichen verhalten würden. In meiner Arbeit knüpfe ich an dieser Lücke an und untersuche die Asymptotik der wild verzweigten Galoiserweiterungen von Funktionenkörpern mit abelscher $p$-Gruppe $G$. Die Analogie zu dem Fall $p \nmid \#G$ kann nur für zyklische $p$-Gruppen nachgewiesen werden. Für die Asymptotik nichtzyklischer abelscher $p$-Gruppen hingegen gewinne ich eine untere Schranke, welche sich oberhalb des durch die Formeln aus der Mallevermutung angedeuteten Niveaus befindet. Eine reine Übertragung der Mallevermutung auf den Fall $p\mid \# G$ kann also nicht vorgenommen werden. Die Sonderstellung der wild verzweigten Erweiterungen von Funktionenkörpern rührt aus der Tatsache, dass bereits über einer beliebigen Vervollständigung $F_v$ unendlich viele Erweiterungen mit Gruppe $G$ existieren. Dieses Phänomen gibt es im Fall $p\nmid \#G$ nicht. In meiner Arbeit bestimme ich die asymptotische Anzahl der Erweiterungen lokaler Funktionenkörper $F_v$ mit zu $G$ isomorpher Galoisgruppe und erhalte einen Vergleich der Gestalt $$ Z(F_v,G;x) \sim c(F_v,G) \cdot x^{a(F_v,G)}, $$ wobei die $a$-Konstante nicht nur von $G$, sondern auch von der zu Grunde gelegten Charakteristik $p$ abhängig ist. Für nichtzyklische abelsche $p$-Gruppen $G$ ist $a(F_v,G)$ deutlich größer als $a(G)$. Für Funktionenkörper der Klassenzahl $1$ kann jede lokal gewonnene Erweiterung auch global realisiert werden, woraus sich die untere Schranke für $Z(F,G;x)$ oberhalb der Mallevermutung ergibt. Für zyklische $p$-Gruppen hingegen können Malles Formeln bestätigt werden. In diesen Fällen ist der Effekt der lokalen Asymptotik auf die globale Asymptotik zu schwach. Des Weiteren beinhaltet die Arbeit Berechnungen der $c(F,G)$-Konstante für beliebige einfache abelsche Gruppen. Dies liefert eine Verallgemeinerung der Ergebnisse von Henri Cohen et al. über globale Zahlkörper auf globale Zahl- oder Funktionenkörper mit einer sogar kürzeren Beweisführung.
The discipline of counting Galois extensions has been sparked by the Malle conjecture in 2002. The object of interest is the number $Z(F,G;x)$ of extensions $E/F$ for a global number field or function field $F$ with given Galois group $G$ and discriminant norm bounded by $x$. By the (extended) Malle conjecture this number should be of the form $$ Z(F,G;x) \sim c(F,G) \cdot x^{a(G)} \cdot \log(x)^{b(F,G)-1}, $$ i.e. the asymptotic quotient of both sides of this relation converges to $1$. The core of the conjecture is the precise formulas for the constants $a(G)$ and $b(F,G)$. It is remarkable that the formula of the $a$-constant only depends on $G$. A solid basis for the Malle conjecture was given by the results of David Wright in 1989, who proved the above form for the asymptotics of abelian groups $G$ with order coprime to the characteristic $p$ of $F$. The remaining cases with $p\mid \# G$ are function fields and their wildly ramified extensions. These cases has been largely ignored so far. We are merely given a conjecture by Wright, that these cases should behave analogously. In my dissertation I follow this gap and discover the asymptotics of wildly ramified Galois extensions of function fields with abelian $p$-group $G$. The proposed analogy to the cases $p \nmid \#G$ only holds for cyclic $p$-groups. For noncyclic abelian $p$-groups I provide a lower asymptotic bound above the level of the Malle conjecture. Hence, the Malle conjecture does not extend to the case $p\mid \# G$. The difference in the wildly ramified functions field case is that we are given infinitely many extensions with Galois group $G$ over any localisation $F_v$. This phenomenon does not occur when $p \nmid \# G$. In my thesis I determine that the asymptotic number of extensions over a local function field $F_v$ with given Galois group $G$ has the relation $$ Z(F_v,G;x) \sim c(F_v,G) \cdot x^{a(F_v,G)}, $$ where the $a$-constant is not only depending on $G$ but also on the characteristic $p$ of $F_v$. For noncyclic $p$-groups of order $\#G>9$ the constant $a(F_v,G)$ is larger than $a(G)$. Since any extension of a localisation $F_v$ of a global field $F$ with trivial class group can be realised over $F$, this relation results a lower bound for $Z(F,G;x)$ above the level of the Malle conjecture in that case. In contrast I can verify Malles formulas for cyclic $p$-groups. In these cases the effect of the local asymptotics on the global asymptotics is insignificant. These are the first results on asymptotics of wildly ramified global function fields. Further, my thesis contains calculations of the $c(F,G)$-constants for arbitrary simple cyclic groups. This provides a generalisation of the results of Henri Cohen et al. on global number fields to global number field or function fields within a simplified proof.
