Model uncertainty, improved Fréchet-Hoeffding bounds and applications in mathematical finance
Lux, Thibaut
In this thesis, we establish novel approaches to quantify model uncertainty and associated risks. We are specifically concerned with model risk that is expressed in terms of an upper and lower bound on the expectation of an aggregation functional of a real-valued random vector, whose law is only partially known. In applications, the aggregation functional can be thought of as an option payoff or a risk measure depending on asset prices or risk factors modelled by the random vector. We establish several methods to derive bounds on expectations and show that these methods enjoy features which are appealing for many practical applications, namely (i) they allow to incorporate partial model information, which can often be obtained from data or is available in the form of expert views, (ii) they apply to a large class of aggregation functionals, including typical option payoffs or risk measures, (iii) they are tractable and can be implemented using numerical integration techniques or linear optimization procedures. Our approach is based on improvements of the well-known Fréchet–Hoeffding bounds in the presence of partial information on the model of the underlying random vector. We begin with the derivation of improved Fréchet–Hoeffding bounds that incorporate information such as e.g. the distance to a reference model or properties of lower-dimensional marginals of the random vector. These results extend the existing body of literature on improved bivariate Fréchet–Hoeffding bounds to the higher-dimensional case and, moreover, they pertain to types of partial information that have not been considered in the literature thus far. Furthermore, we show that the improved Fréchet–Hoeffding bounds fail to be distribution functions under very weak conditions, which constitutes a surprising difference to the bivariate case. In order to translate the improved Fréchet–Hoeffding bounds into bounds on expectations, we develop an appropriate integration theory so as to make sense of integrals with respect to integrators that do not induce measures. This in turn allows us to extend existing results on multivariate stochastic dominance and prove an integral characterization of orthant orders on a suitable extension of the set of distribution functions. Using that the improved Fréchet–Hoeffding bounds are extremal in the sense of orthant orders, we can then translate them into bounds on expectations over a class of distributions that comply with available information. We demonstrate this approach in numerical applications related to model-free derivatives pricing. A fundamentally different approach is required in order to derive robust estimates for the Value-at-Risk of aggregations, since Value-at-Risk is not amenable to our characterization of orthant orders. In this work, we establish two distinct methods to address this problem. First, we derive Value-at-Risk bounds when extreme value information on the underlying risk vector is available. This is achieved by transforming the corresponding optimization problem into a standard Fréchet-problem that can be solved by means of the Rearrangement Algorithm or the well-known Improved Standard Bounds. Second, we develop a method to translate improved Fréchet–Hoeffding bounds into Value-at-Risk estimates. To this end, we resort to a mass transport approach and apply the Monge–Kantorovich Duality Theory to obtain sharp dual bounds on Value-at-Risk in the presence of partial information. Based on this dual formulation we derive a tractable optimization scheme to compute robust risk estimates. Moreover, we show that the well-known Improved Standard Bounds can be recovered as special instances from our optimization procedure. Finally, numerical illustrations suggest that our method typically yields Value-at-Risk bounds that are substantially narrower than the Improved Standard Bounds using the same information.
In dieser Arbeit entwickeln wir Ansätze zur Quantifizierung von Modellunsicherheit und den damit verbundenen Risiken. Zentraler Betrachtungsgegenstand sind Modellrisiken in Form von oberen und unteren Schranken an den Erwartungswert einer Aggregationsfunktion, die von einem reellwertigen Zufallsvektor mit partiell bekannter Verteilungsfunktion abhängt. In Anwendungen beschreibt die Aggregationsfunktion beispielsweise das Auszahlungsprofil eines Derivats oder ein Risikomaß, das von mehreren, durch den Zufallsvektor modellierten Basiswerten beziehungsweise Risikofaktoren abhängt. Hauptbestandteil der Arbeit ist die Entwicklung verschiedener Methoden zur Abschätzung von Erwartungswerten. Überdies verdeutlichen wir die praktische Bewandtnis der Verfahren, die (i) es ermöglichen, partielle Modellinformationen – die in Anwendungen meist durch Datenauswertung oder Expertenwissen gewonnen werden – in die Berechnung des Modellrisikos zu integrieren, (ii) für eine relativ große Klasse von Aggregationsfunktionen gültig sind und die (iii) rechnerisch handhabbar sind, sodass sie mittels numerischer Integrationsmethoden oder linearer Optimierungsverfahren realisiert werden können. Ausgangspunkt der Arbeit sind Verbesserungen der generischen Fréchet–Hoeffding Schranken unter Berücksichtigung partieller Modellinformationen, wie beispielsweise der Distanz zu einem Referenzmodell. Hierdurch erweitern wir zum einen den umfangreichen Literaturkorpus zu verbesserten bivariaten Fréchet–Hoeffding Schranken auf den höherdimensionalen Fall und zum anderen erlauben unsere Ergebnisse die Einbeziehung von Informationstypen, die bisher nicht in der Literatur betrachtet wurden. Ferner beweisen wir unter schwachen Voraussetzungen, dass die verbesserten Fréchet–Hoeffding Schranken keine Verteilungen sind, was einen bemerkenswerten Unterschied zum zweidimensionalen Fall markiert. Um Erwartungswerte mittels verbesserter Fréchet–Hoeffding Schranken abzuschätzen, entwickeln wir anschließend einen Integralbegriff für Integratoren, die kein Maß induzieren. Hiervon ausgehend erweitern wir vorhandene Resultate über stochastische Ordnungen und beweisen eine Integral-Charakterisierung der Orthantenordung auf einer geeigneten Erweiterung der Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Schließlich verknüpfen wir die Integral-Charakterisierung der Ortanthenordnung mit den verbesserten Fréchet–Hoeffding Schranken zur Abschätzung von Erwartungswerten bezüglich einer Klasse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die mit verfügbaren Modellinformationen kompatibel sind. Dieses Verfahren illustrieren wir in numerischen Anwendungen zur modellfreien Optionsbewertung. Im zweiten Teil der Arbeit entwickeln wir zwei Ansätze zur Risikobewertung unter Modellunsicherheit mittels Value-at-Risk basierter Risikomaße. Zunächst nutzen wir Extremwertinformationen über den Risikovektor zur Berechnung robuster Value-at-Risk Schranken. Dies gelingt durch eine Transformation der entsprechenden Optimierungsaufgabe in ein Standard-Fréchet-Problem, welches durch Verfahren wie beispielsweise den Rearrangement Algorithmus oder die verbesserten Standardschranken gelöst werden kann. Unser zweiter Ansatz ermöglicht die Anwendung verbesserter Fréchet–Hoeffding Schranken zur Abschätzung von Value-at-Risk. Hierzu benutzen wir die Monge–Kantorovich Dualitätstheorie zur Herleitung scharfer dualer Risikoschranken mit partieller Modellinformation. Auf Basis der dualen Formulierung entwickeln wir ferner ein numerisch handhabbares Optimierungsschema zur Abschätzung von Value-at-Risk. Überdies zeigen wir, dass die verbesserten Standardschranken einen Spezialfall unseres Schemas darstellen.
