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On the theory and practice of tensor recovery for high-dimensional partial differential equations

Trunschke, Philipp

This thesis considers the problem of approximating low-rank tensors from data and its use for the non-intrusive solution of high-dimensional parametric partial differential equations (PDEs) and stochastic differential equations (SDEs). High-dimensional here refers to the large number of variables on which the solution depends. The looming curse of dimensionality, i.e. the exponential scaling of the number of parameters with respect to the number of variables, that is immanent to all generic, linear approximations, is evaded by applying hierarchical tensor formats, in particular tensor-trains, to represent the sought functions. As a non-intrusive method to attain such representations, regression is considered and the required high-dimensional integrals in the error functional are estimated by (quasi) Monte Carlo methods. The first part of this thesis analyzes the convergence of this empirical best approximation method and introduces a novel algorithm to find surprisingly good approximations even when the number of samples is low. The second part of this thesis considers the application of hierarchical tensor formats to practical problems and demonstrates the effectiveness of this approach on selected examples.
Diese Arbeit befasst sich mit der Approximation von Niedrigrangtensoren aus Trainingsdaten und ihrer Verwendung für die nicht-intrusive Lösung von hochdimensionalen parametrischen partiellen Differentialgleichungen (PDEs) und stochastischen Differentialgleichungen (SDEs). Hochdimensional meint hier die große Anzahl von Variablen, von denen die Lösung abhängt. Der Fluch der Dimensionalität, d.h. das exponentielle Wachstum der Anzahl der Parameter in Bezug auf die Anzahl der Variablen, der allen generischen, linearen Approximationen innewohnt, wird umgangen, indem hierarchische Tensorformate, insbesondere Tensor Trains, zur Darstellung der gesuchten Funktionen verwendet werden. Als nicht-intrusive Methode um solche Darstellungen zu berechnen wird die Regression betrachtet und die erforderlichen hochdimensionalen Integrale im Fehlerfunktional werden durch (quasi-)Monte-Carlo-Verfahren geschätzt. Der erste Teil dieser Arbeit analysiert die Konvergenz dieser empirischen Bestapproximationsmethode und stellt einen neuartigen Algorithmus vor, mit dem sich auch bei geringer Stichprobenzahl überraschend gute Approximationen finden lassen. Der zweite Teil dieser Arbeit betrachtet die Anwendung hierarchischer Tensorformate auf praktische Probleme und demonstriert die Effektivität dieses Ansatzes an ausgewählten Beispielen.