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Qualitative properties of solutions to partial differential equations arising in fluid dynamics

Chaudhuri, Nilasis

In this thesis, we consider compressible fluid models that describe both viscous and inviscid fluids. For inviscid fluids, we consider the barotropic Euler system and the complete Euler system, where the term complete indicates that we incorporate the laws of thermodynamics including the balance of total energy in the system. In the context of viscous fluids we consider the Navier--Stokes system, where the viscous stress tensor is a linear function of the velocity gradient. We are interested in the concept of generalized solutions as there are several limitations in the classical existence theory. Various notions of generalized solutions, namely weak solutions, measure-valued solutions, dissipative solutions have been presented in this thesis. To make these generalized solutions compatible with the classical notion we invoke a, generalized weak-strong uniqueness principle. The principle asserts that the generalized and strong solutions emanating from same initial data must coincide as long as the strong solution exists. We study the weak-strong uniqueness problem for the compressible Navier--Stokes system with a general barotropic pressure law. Our results include the case of a hard-sphere pressure law of Van der Waals type with a non-monotone perturbation and a Lipschitz perturbation of a monotone pressure law. Moreover, we consider a renormalized dissipative measure-valued (rDMV) solution of the same system with compactly supported perturbation of monotone pressure law and obtain the generalized weak-strong uniqueness property of this rDMV solution. The relative energy is used as the main tool to prove these results. We emphasize the choice of non-monotone pressure laws, since most previous results consider a monotone pressure law. The viscous term plays an important role in obtaining a weak- strong uniqueness and a generalized weak-strong uniqueness result. Next, we study the low Mach number limit for a scaled barotropic Euler system and identify its limit as an incompressible Euler system. We also consider the singular limits for a scaled barotropic Euler system modeling a rotating, compressible, and inviscid fluid where the characteristic numbers (the Mach number, the Rossby number and the Froude number) have different scaling with respect to a small parameter $ \epsilon $. The fluid is confined to an infinite slab and the limit behavior $ (\epsilon \rightarrow 0) $ is identified as incompressible planar flow, depending on the relation between the characteristic numbers. For well--prepared initial data, convergence is shown in the time interval where the strong solution of the target system exists, while for the primitive system a class of generalized dissipative solutions is considered. Since the existence of a weak solution for an inviscid compressible fluid is not available for a general initial data, it is convenient to consider a generalized solution. The choice of a dissipative solution ensures a certain stability of the target system. In the literature, most of the results are for viscous fluids by considering both strong solutions and weak solutions, although there are several limitations for the strong solutions. Again, we use the relative energy to obtain the desired results. Finally, we prove that if a weak limit of a consistent approximation scheme of the complete Euler system in the full space $ \mathbb{R}^d,\; d=2,3, $ is a weak solution of the system, then the approximate solutions eventually converge strongly, or at least almost everywhere, under minimal assumptions on the initial data of the approximate solutions. The class of consistent approximate solutions is quite general and includes the vanishing viscosity and heat conductivity limit. In particular, the approximate solutions may not satisfy the minimal principle for entropy. Since both the barotropic Euler system and the complete Euler system are ill-posed in the class of weak solutions, our results ensure that the limit of consistent approximations can be a good selection criterion for a physically relevant solution.
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir Modelle für sowohl viskose als auch nichtviskose kompressible Fluide. Für den Fall der nichtviskosen Fluide betrachten wir das System der barotropen Euler-Gleichungen und der vollständigen Euler-Gleichungen, wobei Letzteres bedeutet, dass die Hauptsätze der Thermodynamik (inklusive der Erhaltung der Gesamtenergie) im System beinhaltet sind. Im Kontext der viskosen Fluide betrachten wir das System der Navier-Stokes-Gleichungen, in dem der viskose Spannungstensor linear vom Geschwindigkeitsgradienten abhängt. Da die klassische Existenztheorie gewisse Limitierungen hat, betrachten wir verallgemeinerte Lösungskonzepte, nämlich schwache, maßwertige und dissipative Lösungen. Um sicherzustellen, dass diese verallgemeinerten Lösungen kompatibel mit klassischen Lösungen sind, fordern wir das Prinzip der sogenannten verallgemeinerten schwach-starken Einzigkeit. Dieses Prinzip stellt sicher, dass die verallgemeinerte und die starke Lösung zum selben Anfangswert übereinstimmen, sofern Letzere existiert. Wir untersuchen die schwach-starke Einzigkeit für das System der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit einer allgemeinen barotropen Druck-Dichte-Relation. Unsere Resultate beinhalten den Fall eines Harte-Kugeln-Modells vom Van-der-Waals Typ für die Druck-Dichte-Relation mit einer nichtmonotonen und einer Lipschitz-stetigen Störung einer monotonen Druck-Dichte-Relation. Außerdem betrachten wir eine renormalisierte dissipative maßwertige (rDMV) Lösung desselben Systems mit einer Störung der monotonen Druck-Dichte-Relation mit kompaktem Träger und erhalten die verallgemeinerte schwach-starke Einzigkeit dieser rDMV Lösung. Das Hauptwerkzeug für den Beweis dieser Resultate ist dabei die relative Energie. Wir weisen nochmal darauf hin, dass in dieser Arbeit nichtmonotone Druck-Dichte-Relationen betrachtet werden, da die meisten bisherigen Resultate nur monotone Druck-Dichte-Relationen betrachten. Der viskose Term spielt dabei eine wichtige Rolle, um die schwach-starke und die verallgemeinerte schwach-starke Einzigkeit zu erhalten. Weiterhin untersuchen wir den Grenzwert für verschwindende Mach-Zahlen eines Systems von skalierten barotropen Euler-Gleichungen und identifizieren den Grenzwert als ein System von inkompressiblen Euler-Gleichungen. Wir betrachten außerdem singuläre Grenzwerte für ein System von skalierten barotropen Euler-Gleichungen, das ein rotierendes, kompressibles und nichtviskoses Fluid modelliert, wobei die Kennzahlen (die Mach-Zahl, die Rossby-Zahl und die Froude-Zahl) unterschiedlich mit einem kleinen Parameter $\epsilon$ skalieren. Das Fluid ist begrenzt auf eine unendliche Platte und das Grenzwertverhalten für $\epsilon\to 0$ wird, abhängig von der Beziehung der Kennzahlen, als inkompressible ebene Strömung identifiziert. Für wohlgestellte Anfangsdaten wird die Konvergenz auf dem Existenzintervall der starken Lösung des Zielsystems gezeigt, wobei eine Klasse von verallgemeinerten dissipativen Lösungen für das Ausgangssystem betrachtet wird, da Existenz von schwachen Lösungen für ein nichtviskoses kompressibles Fluid für allgemeine Anfangsdaten nicht bekannt ist. Die Wahl der dissipativen Lösung sichert gewisse Stabilitätseigenschaften des Zielsystems. In der Literatur werden in den meisten Resultaten für viskose Fluide sowohl starke als auch schwache Lösungen betrachtet, obwohl es für starke Lösungen einige Einschränkungen gibt. Wir verwenden wieder die relative Energie als Hauptwerkzeug, um die gewünschten Resultate zu beweisen. Schließlich zeigen wir, dass, falls der schwache Grenzwert einer konsistenten Approximation des Systems der vollständigen Euler-Gleichungen im ganzen Raum $\mathbb{R}^d,\; d=2,3,$ eine schwache Lösung dieses Systems ist, die Näherungslösungen sogar stark oder zumindest fast überall konvergieren, wobei nur minimale Annahmen an die Anfangsdaten der Näherungslösungen gestellt werden müssen. Die Klasse der konsistenten Näherungslösungen ist ziemlich allgemein und beinhaltet den Grenzwert für verschwindende Viskosität und Wärmeleitung. Insbesondere kann es sein, dass die Näherungslösungen nicht das Prinzip der minimalen Entropieproduktion erfüllen. Da sowohl das System der barotropen Euler-Gleichungen als auch das System der vollständigen Euler-Gleichungen nicht wohlgestellt in der Klasse der schwachen Lösungen ist, sorgen unsere Ergebnisse dafür, dass der Grenzwert der Näherungslösungen ein gutes Auswahlkriterium für eine physikalisch relevante Lösung sein kann.